¿Por qué "cualquier revestimiento de un pacto establecido por una colección de conjuntos abiertos contiene una subcovering finita"?

Question

Estoy leyendo el libro de Stein, y esta es su versión del problema:

No veo cómo demostrarlo. Consideremos R y sea E el intervalo cerrado [0,1].

Answer 1

Con la ayuda de un compañero de clase, me encontré con una prueba. Supongamos que U es una colección infinita de intervalos abiertos que cubre [0,1]. Considere la siguiente instrucción para el intervalo abierto I:

S(I): existe un conjunto finito de intervalos abiertos en U, que cubre I.

Queremos probar que S([0,1]) es verdadera.

La prueba por contradicción:

S([0,1]) es falsa. Por lo tanto, al menos uno de S([0,0.5]) o S([0.5,1]) es falsa. Continuando reducir a la mitad, vamos a converger a un punto y para que S([y-e,y+e]) es falso, no importa cómo es pequeño e es. Sin embargo, existe un intervalo abierto en U, que cubre la y, y la longitud de este intervalo es mayor que en el correo. Por lo tanto S([y-e,y+e]) es verdadera para algún correo. CONTRADICCIÓN!

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