¿Cuál es la probabilidad de que dos números de tarjeta de crédito coincidan, dados los datos incompletos y la fecha de caducidad conocida?

Question

Tratando de resolver una discusión en la oficina sobre un escenario de probabilidad desafiante, pensé en ver si alguien quiere tomar una puñalada:

Intentamos determinar la probabilidad de que 2 tarjetas de crédito coincidan entre una población global, dado que sólo se conocen los seis primeros y los cuatro últimos dígitos. También conocemos la fecha de caducidad. Un par de reglas para cada campo:

Los seis primeros: Trabajamos estrictamente con un solo emisor de tarjetas cuyo rango de seis primeros dígitos está entre 222100-272099 o 510000-559999. Para simplificar, esto permite 100.000 combinaciones posibles.

Los cuatro últimos: Para simplificar, se puede suponer que son completamente aleatorios. (ignorando los controles de Luhn)

Fecha de caducidad: Sólo son válidas las fechas futuras dentro de un plazo de cuatro años.

¿Cuál es la probabilidad de que 2 cartas de toda la población sean iguales?

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Hasta ahora nuestra mejor teoría al desglosar esto en partes es:

1. A = Hay 100.000 combinaciones de los 6 primeros dígitos.

2. B = Hay 10.000 combinaciones de los últimos 4 dígitos

3. C = Hay 48 combinaciones del campo de la fecha.

Buscamos el número de enfrentamientos en la población. Para simplificar, hemos asumido una población de 1.000 millones. Así que estamos asumiendo en última instancia que habrá 1.000 millones de eventos y estamos buscando la probabilidad de obtener 2 resultados idénticos de esos eventos:

A * B * C = 1,000,000,000x
1/100,000 * 1/10,000 * 1/48 = 1,000,000,000x
x = 1/48

Así que la teoría es que hay una probabilidad de 1/48 de que haya un solo choque en 1.000 millones de cartas.

Answer 1

Su cálculo $A \times B \times C = 10^9x$ no es realmente relevante aquí. El resultado $x = 1/48$ es (una aproximación muy cercana) a la probabilidad de que una persona determinada tiene un enfrentamiento con otra persona. Pero hay mil millones de personas.

Tu problema entra en la paradoja del cumpleaños, lo que significa que el número de enfrentamientos que encontrarás es mucho mayor de lo que es intuitivo para la mayoría de la gente. Incluso sin hacer el cálculo con exactitud, puedes comprobar que la probabilidad de que no haya enfrentamientos es casi 0. Para verlo, supón primero que se reparten 900 millones de números de tarjetas de crédito sin un choque . (Eso ya es astronómicamente improbable en realidad, pero hagamos de cuenta que eso ya sucedió). Entonces quedan 100 millones de personas que todavía necesitan un número de tarjeta de crédito. Si los eliges al azar, por persona, sólo la probabilidad de que coincidan con uno de los números ya repartidos es, de forma muy conservadora, superior a 1/100. Lo que significa que la probabilidad de que ninguno de ellos coincida es, como mucho, de $$ (1 - 1/100)^{10^8} = (99/100)^{10^8} \approx 2.8824 \times 10^{-436481}. $$ Es decir, la probabilidad de que no se produzca un choque es, como mucho, un cero, seguido de un punto decimal, seguido de más de 400.000 ceros, seguido del primer número distinto de cero.

Y de nuevo, esto es sigue siendo una sobreestimación muy, muy burda .