Propiedad topológica del conjunto $\{A \in M_n(\mathbb R): \rho(A) < 1\}$

Question

Dejemos que $M_n(\mathbb R)$ denotan el conjunto de $n \times n$ matrices reales con $n \ge 2$ . Dejemos que $$\mathcal S = \{A \in M_n(\mathbb R): \rho(A) < 1\},$$ donde $\rho(\cdot)$ denota el radio espectral de una matriz. Entonces $\mathcal S$ está abierta y conectada.

Me pregunto si $\mathcal S \setminus \{0\}$ está conectado ya que la prueba que conozco para demostrar la conectividad es cada $A$ está conectado a $0$ .

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Como comentó Joe Johnson 126, si $n=1$ entonces está claro que esto no es cierto. Tenía en mente preguntar $n \ge 2$ así que he editado la pregunta para que quede más claro.

Answer 1

Dejemos que $\lVert - \rVert'$ ser una norma en $\mathbb{C}^n$ y $\lVert - \rVert$ sea una norma matricial compatible en $M_n(\mathbb{C}) \supset M_n(\mathbb{R})$ es decir $\lVert Ax \rVert' \le \lVert A \rVert \lVert x \rVert'$ para todos $x \in \mathbb{C}^n$ y $A \in M_n(\mathbb{C})$ . Entonces $\rho(A) \le \lVert A \rVert$ .

Ahora dejemos que $A_1, A_2 \in \mathcal{S} \setminus \{ 0 \}$ . Construiremos un camino en $\mathcal{S} \setminus \{ 0 \}$ conectando $A_1$ y $A_2$ .

Encontramos caminos continuos $u_i : [\varepsilon,1] \to \mathcal{S} \setminus \{ 0 \}, u_i(t) = t A_i$ , conectando $B_i = \varepsilon A_i$ con $A_i$ , de tal manera que $\lVert B_i \rVert \le 1$ . El conjunto abierto $C = \{ A \in M_n(\mathbb{R}) \mid \lVert A \rVert < 1 \}$ está contenida en $ \mathcal{S}$ . Por lo tanto, basta con encontrar un camino en $C \setminus \{ 0 \}$ conectando $B_1$ y $B_2$ . Desde $C$ es convexo, el segmento de línea $s$ conectando $B_1$ y $B_2$ está contenida en $C$ . Si $0 \notin s$ hemos terminado. Si $0 \in s$ elegimos algunos $B \in C$ que no está contenida en la línea $l$ a través de $A_1, A_2$ . Esto es posible porque $n > 1$ . Entonces la trayectoria lineal a trozos que va de $B_1$ a $B$ a $B_2$ está contenida en $C \setminus \{ 0 \}$ .