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Question

Quiero encontrar el límite de $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{5^x-3^x}{3^x-2^x}$$

Mis esfuerzos:

$$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{5^x-3^x}{3^x-2^x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5^x((3/5)^x-1)}{3^x((2/3)^x-1)}$$

Multiplicando y dividiendo numerador y denominador por $x$ somos, $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5^x\frac{((3/5)^x-1)}{x-0}}{3^x\frac{((2/3)^x-1)}{x-0}}\tag{1}$$ Vamos, $$f(x)=(3/5)^x-1, g(x)=(2/3)^x-1$$

Ahora $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(x)$$

y lo mismo para $g$, podemos reescribir $(1)$ como $$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{5^x}{3^x}\times \frac{f'(0)}{g'(0)}\tag{2}$$

Sabemos si $h(x)=a^x,$ entonces $h'(x)=a^x \log(a)$

Informática y poniendo todo en la pieza, podemos escribir la $(2)$ como

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(3/5)}{\log(2/3)}$$

Así, obtenemos el límite equivalente al $\frac{\log(3/5)}{\log(2/3)}$.

Es mi cálculo correcto?

Answer 1

Sí, es correcto, pero no es correcto decir que $$\lim_{x\to0}\frac{5^x\frac{((3/5)^x-1)}{x-0}}{3^x\frac{((2/3)^x-1)}{x-0}}=\lim_{x\to0}\frac{5^xf'(0)}{3^xg'(0)}.$$That is, you can't replace some $ x$'s by $ 0$, while keeping others as $ x $ .

Y podrías haber usado la regla de L'Hopital $$\lim_{x\to0}\frac{5^xf(x)}{3^xg(x)}=\lim_{x\to0}\frac{5^x}{3^x}\times\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{\log\left(\frac35\right)}{\log\left(\frac23\right)}.$ $

Answer 2

o, para $A > 1,$%% $$ A^x = e^{x \log A} = 1 + x \log A + O( x^2) $$, entonces tiene $$ \frac{1 + x \log 5 -1 - x \log 3 + O(x^2)}{1 + x \log 3 -1 - x \log 2 + O(x^2)} = \frac{x (\log 5 - \log 3) + O(x^2)}{x (\log 3 - \log 2) + O(x^2)} = \frac{ \log 5 - \log 3 + O(x)}{ \log 3 - \log 2 + O(x)} $ $

Answer 3

Puede usar directamente el límite estándar $\lim\limits _{x\to 0}\dfrac{a^x-1}{x}=\log a$ y escribir la expresión bajo límite como $$\dfrac{\dfrac {5^x-1}{x}-\dfrac{3^x-1}{x}}{\dfrac{3^x-1}{x}-\dfrac{2^x-1}{x}} $$ and get the limit as $$\frac{\log 5-\log 3}{\log 3-\log 2}$ $