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¿Por qué son estas dos sumas en el cálculo de la varianza igual?

Antecedentes: La captura de pantalla de abajo es el libro de la solución a un año 1 pregunta de probabilidad (Sheldon Ross auto de prueba 7.12). Yo entiendo todo, excepto la última igualdad.

Mi Pregunta: Es el recuadro de color rojo igual que el cuadro azul de abajo? ¿Me puedes mostrar paso a paso cómo hacerlo? Supongo que hay algo de identidad que hacen que sea más fácil...

Mi Intento: por Desgracia, en lugar de ser capaz de resolver la cuestión el uso de las matemáticas, la puse en python y obtuvo resultados diferentes para el rojo y el azul de la caja... pero mi script podría estar equivocado. Gracias por tu ayuda.

n = 5

redBox = 0
for i in range(1,n):
    for j in range(i+1,n+1):
        redBox += (i-1)*(j-n)
redBox = 2*redBox / ((n-2)**2 * (n-1))

blueBox = 0
for i in range(1,n):
    blueBox += (i-1)*(n-i)*(n-i-1)
blueBox = -blueBox / ((n-2)*(n-1)**2)

print(redBox,blueBox)

y para $n=5$ I get $\text{red box} = -0.277$ vs $\text{blue box} = -0.20833$.

Gracias.


Libro de solución

enter image description here

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zardos Puntos 41

A primera vista, la suma en el cuadro rojo se ve peor de lo que es. Para llegar a la caja azul, usted sólo tiene que recoger los factores comunes y el uso de la fórmula

  • $\sum_{k=1}^{N}k = \frac{N(N+1)}{2}$

$$2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n \frac{\color{green}{(i-1)}\cdot (j-n)}{\color{blue}{(n-2)(n-1)^2}}= \frac{2}{\color{blue}{(n-2)(n-1)^2}}\sum_{i=1}^{n-1}\color{green}{(i-1)}\boxed{\sum_{j=i+1}^n (j-n)}$$

Para la "caja" la cantidad que usted puede simplemente escribir algunos de los términos que empiezan con $j=n$ a darse cuenta de que esto no es nada, pero

  • $\boxed{\sum_{j=i+1}^n (j-n)} = -(0+1+\cdots +n - (i+1)) = -\sum_{k=1}^{N}k = -\frac{N(N+1)}{2}$ con $N = n-(i+1)=n-i-1$.

Así, $$\boxed{\sum_{j=i+1}^n (j-n) = -\frac{(n-i-1)(n-i)}{2} }$$

Ahora, sólo "conectar" el cuadro y reorganizar un poco:

$$\frac{\color{blue}{2}}{(n-2)(n-1)^2}\sum_{i=1}^{n-1}(i-1)\boxed{\sum_{j=i+1}^n (j-n)} = $$ $$\frac{\color{blue}{2}}{(n-2)(n-1)^2}\sum_{i=1}^{n-1}(i-1)\left(\color{blue}{-}\frac{(n-i-1)(n-i)}{\color{blue}{2}} \right) = $$ $$\color{blue}{-}\frac{1}{(n-2)(n-1)^2}\sum_{i=1}^{n-1}(i-1)(n-i)(n-i-1)$$

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