Combinatoria - arreglos alrededor de mesa circular

Question

"$4$ niños y $3$ de las niñas se sientan alrededor de una mesa. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $2$ de las niñas se sientan uno al lado del otro?"

Me dijo lo siguiente: no se ${7\choose3} = 35$ formas de seleccionar los lugares para las niñas, y en $5$ de esas maneras, las niñas serán completamente aparte (es decir, no hay dos chicas se sientan juntos), dando una probabilidad de $\frac{5}{35} = \frac{1}{7}$. Por lo tanto la probabilidad de que al menos dos de las niñas se sientan juntos es $1-\frac{1}{7} = \frac{6}{7}$. La probabilidad de que las tres niñas se sientan juntos es $\frac{7}{35} = \frac{1}{5}$, ya que hay $7$ formas de seleccionar los tres lugares que las tres chicas se sientan juntos. Por lo tanto, la probabilidad de que exactamente dos de las niñas se sientan juntos es $\frac{6}{7} - \frac{1}{5} = \frac{23}{35}$.

Sin embargo, me han dicho que la respuesta correcta debe ser $\frac{3}{5}$, por lo que mi pregunta es: ¿qué hay de malo en mi trabajo anterior?

Answer 1

Si los asientos son de $(A,B,C,D,E,F,G)\,$ entonces podemos tener a todos ellos por separado el uso de $$(A,C,E),\,(A,C,F),\, (A,D,F),\,(B,D,F),\,(B,D,G),\,(B,E,G), \,(C,E,G)$$

Por lo tanto, hay $7$ formas, no $5$ como se indica en el post.

Creo, sin embargo, que es más fácil hacer el problema directamente. Hay $7$ lugares para empezar a la par de las niñas (de trabajo de las agujas del reloj, por ejemplo). Entonces, después de haber colocado el consecutivo de las niñas, hay $3$ lugares para poner la tercera (ya que se excluyen los asientos ocupados, así como los dos asientos colindantes). Por lo tanto, hay $7\times 3=21$ maneras de lugar, de tal modo que exactamente dos son consecutivos. De ello se deduce que la respuesta es $$\boxed {\frac {21}{35}=\frac 35}$$