Acción del grupo y estructura del grupo

Question

En la teoría de grupos, la acción de un grupo es útil para determinar la estructura del grupo. Como ejemplo,

Si $G$ es de orden $p^aq^b$ entonces $G$ es solucionable. [Acción considerada en el espacio vectorial].

Si $G$ es un $p$ -entonces su centro es no trivial. [La acción es sobre elementos no identitarios por conjugación].

Si $|G|=2m$ , $m$ impar, entonces $G$ contiene un subgrupo normal de orden $m$ [Acción de la izquierda de $G$ en sí mismo].

Además de esto, ¿cuáles son los teoremas interesantes que indican la estructura del grupo a partir de su acción sobre algunos objetos (distintos del espacio vectorial y del tipo mencionado anteriormente)?

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De hecho, la acción de un grupo sobre un espacio vectorial tiene muchas aplicaciones para encontrar la estructura del grupo. Esto es en la teoría de la representación de grupos finitos.

En la pregunta anterior, quiero ver ejemplos de diferentes (categoría de) objetos para la acción del grupo, para determinar su estructura.

Estaré encantado de ver si se deriva algo sobre el grupo por su acción sobre algún espacio topológico, algún gráfico, o sobre el dominio complejo, etc.

Answer 1

(1) Si un grupo que actúa sobre un conjunto finito es transitivo agudamente-3/2 (es decir, transitivo con estabilizadores puntuales no triviales pero sólo la identidad estabiliza dos puntos), entonces tiene un subgrupo normal regular nilpotente y el estabilizador puntual tiene también muchas restricciones en su estructura. (Estos se llaman grupos de Frobenius).

(2) Los grupos agudamente 2-transitivos sobre conjuntos finitos son subgrupos de las transformaciones semilineales sobre los elementos de un campo finito, o sobre una lista de siete excepciones, de grados (es decir, tamaño del conjunto sobre el que se actúa) $5^2$ , $7^2$ , $11^2$ , $23^2$ , $29^2$ o $59^2$ . (Hay dos excepciones de grado $11^2$ (una soluble, otra no). Todas las excepciones resolubles contienen una copia de $SL(2,3)$ en el estabilizador de puntos, y todos los demás contienen una copia de $SL(2,5)$ en el estabilizador puntual. Además, cada campo cercano finito que no es un campo cercano de Dickson corresponde a una de estas siete excepciones.

(3) Resultados similares son válidos para grupos fuertemente 5/2 transitivos, fuertemente 3-transitivos, etc., que actúan sobre conjuntos finitos. En particular, los grupos fuertemente 3-transitivos sobre conjuntos finitos son el grupo de transformaciones lineales fraccionarias sobre una línea proyectiva para un campo finito, o (para campos de tamaño $q^n$ con $q$ impar y $n$ par) el grupo de transformaciones fraccionarias semilineales con automorfismo de identidad y determinante cuadrado o automorfismo de orden 2 y determinante no cuadrado, que actúan sobre la misma recta proyectiva. El más pequeño de estos últimos (que actúa sobre la recta proyectiva con 10 puntos) es el estabilizador puntual en el grupo de Mathieu $M_{11}$ .

(4) Grupos n-transitivos agudos para $n\ge 4$ debe ser $S_n$ , $S_{n+1}$ , $A_{n+2}$ o (para $n=4$ ) $M_{11}$ o (para $n=5$ ) $M_{12}$ . Este resultado no depende de la clasificación de la forma en que lo hace un enunciado algo similar con la palabra "agudamente" eliminada. De hecho, si la memoria no me falla, se trata de un resultado del siglo XIX debido a C. Jordan.

(5) Al analizar la estructura de los grupos finitos $G$ se suelen utilizar teoremas que concluyen que ciertos subgrupos normales $H$ (por ejemplo, el subgrupo de ajuste de un grupo soluble) se autocentran. Esto significa que la acción de $G/H$ en $H$ es fiel, que a menudo puede utilizarse para obtener más información en casos concretos.

(6) Hay una buena cantidad de trabajos sobre grupos simples que los caracterizan en términos de sus acciones sobre banderas en geometrías de incidencia con varias propiedades. Esto comenzó con los grupos de Lie y de tipo Lie, y se han introducido varias geometrías análogas para caracterizar los grupos esporádicos.