¿Significa esto que una prueba por contradicción sólo es válida en ZFC, no en ZF, siempre y cuando la suposición de que el axioma de elección no puede inferirse por los axiomas de ZF?
No. No me queda del todo claro lo que afirma Atiyah, aunque creo que es la lectura más directa, pero esa afirmación de arriba es falsa. Además, podemos probar en un sentido preciso que la elección no juega ningún papel esencial en la hipótesis de Riemann, y que la parte "siempre que..." de su pregunta es innecesaria.
En concreto, los puntos clave son:
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La prueba por contradicción es perfectamente válida en ZF. La validez o invalidez de la prueba por contradicción es una cuestión sobre la lógica subyacente y no la teoría, y ZF y ZFC utilizan la misma lógica subyacente (es decir, la lógica clásica de primer orden).
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Se sabe que que ZF no puede demostrar el axioma de elección (al menos, mientras ZF sea consistente en primer lugar); esto fue probado por Cohen (siguiendo una prueba mucho más sencilla, debida a Godel, de que ZF no puede refutar a AC a menos que ZF sea inconsistente).
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Lo más interesante, cualquier prueba de RH de ZFC puede convertirse en una prueba de RH de ZF aunque la prueba original parece utilizar fundamentalmente el axioma de elección. Esto es una consecuencia de un teorema de la absolutez Teoremas de absolutización: los teoremas de absolutización afirman que ciertos axiomas (por ejemplo, la elección) pueden eliminarse de las pruebas de las sentencias que son particularmente "simples" en su forma, y resulta que RH puede expresarse de forma suficientemente sencilla para que se aplique un resultado de absolutización adecuado .
Tenga en cuenta que mis puntos segundo y tercero definitivamente requieren pruebas. No son en absoluto (jeje) obvios, y es perfectamente razonable que los matemáticos ajenos a la lógica no estén familiarizados con ellos (especialmente el tercero). Dicho esto, demuestran que las preocupaciones teóricas de los conjuntos que se plantean son nulas.
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Cualquier prueba o refutación de RH de ZFC es una de ZF.
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Este es el esquema de la prueba que se reclama: drive.google.com/file/d/17NBICP6OcUSucrXKNWvzLmrQpfUrEKuY/ . En el apartado 5, párrafo 4, el autor afirma que la prueba por contradicción requiere una elección. Yo interpreto que requiere el axioma de elección. En la página de wikipedia es.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory El ZFC se describe como una extensión del ZF con el controvertido AC.
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Creo que ahí hay una confusión. La matemática constructiva suele hacerse en un entorno en el que no se cumple la Ley del Medio Excluido, por lo que la prueba por contradicción no es válida. En muchos entornos constructivos la elección falla, porque el axioma de elección implica la LEM en general (aunque en algunos entornos constructivos, la elección es de hecho un teorema). La cuestión es que a veces se llama "constructiva" a cualquier configuración sin elección, pero esto es en un sentido no técnico. Sólo puedo imaginar que esto es la fuente de la confusión.
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Partiendo del comentario de @AsafKaragila, el término "constructivo" es realmente peligroso aquí. Puede referirse a: argumentos que no implican el medio excluido; construcciones que no implican el axioma de elección; o incluso (en la literatura más antigua, principalmente rusa) computable. Y, por si acaso, el término estrechamente relacionado "construible" se refiere a elementos de El universo construible de Godel que, para más inri, ¡satisface la elección! Y todo esto ignora su común informal uso como "explícito".