¿Error en Mac Lane ' presentación de s de la "transformación natural universal"?

Question

En la página 39 de la Categoría de Teoría para el Trabajo de los Matemáticos, Mac Lane hace una afirmación que me parece falso.

Deje $\mathcal{C}$ ser una categoría, y deje $\mathbf{2}$ ser la categoría con exactamente dos objetos distintos $a$ e $b$ , y exactamente un no-identidad de flecha $\uparrow$ de $a$ a $b$. Deje $\mu$ ser la función que asigna a cada objeto $(x,\delta)\in\mathcal{C}\times\mathbf{2}$ la flecha $({1}_{x},\uparrow)$. Mac Lane llama $\mu$ el universal de la transformación natural de $\mathcal{C}$.

He aquí la afirmación: para todas las categorías $\mathcal{D}$ y todos los functors $S,S':\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ naturales y transformaciones $\tau:S\rightarrow S'$, no hay una única functor $F:\mathcal{C}\times\mathbf{2}\rightarrow\mathcal{D}$ tal que para todos los objetos $(x,\delta)\in\mathcal{C}\times\mathbf{2}$, tenemos $$(*)\qquad F(\mu(x,\delta))=\tau x.$$ Mi duda es acerca de la singularidad de un functor. Para una posible contraejemplo a la singularidad, la tome $\mathcal{C}$ a ser la categoría con un objeto $a$ y dos flechas ${1}_{a}$ e $h$, $h\circ h:={1}_{a}$. Tome $\mathcal{D}$ a $\mathcal{C}\times\mathbf{2}$. Deje $S:\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ ser el único functor que envía a$a$ a $(a,a)$ e $h$ a $(h,{1}_{a})$. Deje $S':\mathcal{C}\rightarrow\mathcal{D}$ ser el único functor que envía a$a$ a $(a,b)$ e $h$ a $(h,{1}_{b})$. Deje $\tau:S\rightarrow S'$ ser la transformación natural que se envía a$a$ a la flecha $({1}_{a},\uparrow)$. Deje $F:\mathcal{C}\times\mathbf{2}\rightarrow\mathcal{D}$ ser el functor identidad. A continuación, desactive $F$ tiene la propiedad $(*)$. Pero ahora vamos a $F':\mathcal{C}\times\mathbf{2}\rightarrow\mathcal{D}$ enviar cada objeto para sí mismo, enviar cada flecha de la forma $({1}_{a},g)$ a sí mismo, y enviar a cada uno de flecha de la forma $(h,g)$ a $({1}_{a},g)$. A continuación, $F'$ es otro functor, distinta de la de $F$, con propiedad $(*)$.

He comprobado el contraejemplo varias veces y no puede encontrar ningún error. Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

No, el punto es correcto. Es un poco un misterio por qué la Mac Lane escribe $F\mu c=\tau c$, como claramente la necesaria condición es $F\mu=\tau$, una condición que implica en particular que $FT_0=S$ e $FT_1=T$, el uso de Mac Lane notación, al menos en la primera edición. Mac Lane incluso escribe el correcto estado de conservación al final del párrafo.

Tenga en cuenta que usted reproduce algunos de la construcción ligeramente incorrectamente. $\mu$ es la función que asigna a $(x,\uparrow)$ a cada una de las $x\in \mathcal C$, no a cada una de las $(x,\delta)$, debido a $\mu$ es una transformación natural con dominio de $\mathcal C$. Por lo tanto la reclamación que protagonizó también debe haber sido que $F(\mu(x))=\tau x$, no $F(\mu(x,\delta))=\tau x$.