Significado geométrico de la cantidad$|a|^2 |b|^2 |c|^2 - (a \cdot b)(b \cdot c)(c \cdot a)$ para vectores no coplanar$a$,$b$,$c$

Question

Para dos vectores no colineales, $a$ y $b$ , la cantidad $$|a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)(b \cdot a) = |a \times b|^2$$ is the square of the area of the parallelogram spanned by these two vectors. For three non-coplanar vectors, $ a$, $ b$ and $ c$, we can form a similar expression $$B = |a|^2 |b|^2 |c|^2 - (a \cdot b) (b \cdot c) (c \cdot a)$ $ que no es igual al cuadrado del volumen del paralelepípedo abarcado por estos tres vectores.

¿Tiene $B$ algún significado geométrico (u otro)?

Answer 1

No sé si esta pista es concluyente, pero esto es lo que obtuve:

\begin{align*} B & = \lVert a\rVert^{2}\lVert b\rVert^{2}\lVert c\rVert^{2} - \langle a,b\rangle\langle b,c\rangle\langle c,a\rangle\\ & = \lVert a\rVert^{2}\lVert b\rVert^{2}\lVert c\rVert^{2} - \lVert a\rVert^{2}\lVert b\rVert^{2}\lVert c\rVert^{2}\cos(\theta_{1})\cos(\theta_{2})\cos(\theta_{3})\\ & = \lVert a\rVert^{2}\lVert b\rVert^{2}\lVert c\rVert^{2}[1 - \cos(\theta_{1})\cos(\theta_{2})\cos(\theta_{3})] \end{align*}

Answer 2

No sé la interpretación geométrica de esta cantidad, pero hay una interpretación natural de esta cantidad, la cual hace que sea más transparente análoga a la de otros candidatos que usted ha mencionado, a saber, la plaza de volumen $V$ del paralelepípedo generado por ${\bf a}, {\bf b}, {\bf c}$, al menos para $n = 3$.

Recordar que el cuadrado de la zona puede ser escrito como $$\begin{align*}V^2 &= \operatorname{det}\pmatrix{{\bf a} \cdot {\bf a} & {\bf a} \cdot {\bf b} & {\bf a} \cdot {\bf c} \\ {\bf b} \cdot {\bf a} & {\bf b} \cdot {\bf b} & {\bf b} \cdot {\bf c} \\ {\bf c} \cdot {\bf a} & {\bf c} \cdot {\bf b} & {\bf c} \cdot {\bf c}} \\ &= ({\bf a} \cdot {\bf a})({\bf b} \cdot {\bf b})({\bf c} \cdot {\bf c}) - \mathfrak{S}[({\bf a} \cdot {\bf a})({\bf b} \cdot {\bf c})^2] + 2 ({\bf b} \cdot {\bf c}) ({\bf c} \cdot {\bf a})({\bf a} \cdot {\bf b}),\end{align*}$$ where $\mathfrak{S}[\cdot]$ denotes the cyclic sum of $\cdot$ in ${\bf}, {\bf b}, {\bf c}$.

Por otro lado, recordemos que el factor determinante de una $n \times n$ matriz $M = (m_{ij})$ puede ser escrito como $$\det M = \sum_{\sigma} (\operatorname{sign} \sigma) m_{1 \sigma(1)} \cdots m_{n \sigma(n)},$$ donde la suma es sobre todas las permutaciones $\sigma$ de $n$. Aquí, $\operatorname{sign} \sigma$ es $+1$ si la permutación es par y $-1$ si es impar.

Ahora, si usted sabe un poco de teoría de la representación, usted sabe $\operatorname{sign}$ es una representación del grupo de $S_n$ de permutaciones de $n$ elementos. Mediante la sustitución de $\operatorname{sign}$ en la definición del determinante con alguna otra representación que obtener una generalización de la determinante (llamado immanant) y---tal vez usted ver a dónde va esto---puede sustituir a $\det$ en la primera pantalla de la ecuación de arriba para obtener un nuevo invariante para el (desordenada) triple $({\bf a}, {\bf b}, {\bf c})$.

Tomando $n = 3$ y la representación bidimensional $\lambda$ da la immanant $$\operatorname{imm}_{\lambda}(M) = 2 m_{11} m_{12} m_{13} - m_{23} m_{31} m_{12} - m_{32} m_{13} m_{21} .$$ Replacing $\det$ in the first display equation with $\operatorname{imm}_{\lambda}$ da exactamente el doble de la cantidad en cuestión: $$\boxed{\tfrac{1}{2} \operatorname{imm}_{\lambda} \pmatrix{{\bf a} \cdot {\bf a} & {\bf a} \cdot {\bf b} & {\bf a} \cdot {\bf c} \\ {\bf b} \cdot {\bf a} & {\bf b} \cdot {\bf b} & {\bf b} \cdot {\bf c} \\ {\bf c} \cdot {\bf a} & {\bf c} \cdot {\bf b} & {\bf c} \cdot {\bf c}} = ({\bf a} \cdot {\bf a})({\bf b} \cdot {\bf b})({\bf c} \cdot {\bf c}) - ({\bf b} \cdot {\bf c})({\bf c} \cdot {\bf a})({\bf a} \cdot {\bf b})} .$$

Observación Hasta el isomorfismo sólo hay tres representaciones irreducibles de $S_3$, y el restante es el trivial de la representación. Esto da lugar a la permanente, $\operatorname{per}$, el cual está definido sólo por la eliminación de la definición de $\det$ el signo de la permutación, por lo que $$\begin{multline*}\operatorname{per}\pmatrix{{\bf a} \cdot {\bf a} & {\bf a} \cdot {\bf b} & {\bf a} \cdot {\bf c} \\ {\bf b} \cdot {\bf a} & {\bf b} \cdot {\bf b} & {\bf b} \cdot {\bf c} \\ {\bf c} \cdot {\bf a} & {\bf c} \cdot {\bf b} & {\bf c} \cdot {\bf c}} \\ = ({\bf a} \cdot {\bf a})({\bf b} \cdot {\bf b})({\bf c} \cdot {\bf c}) + \mathfrak{S}[({\bf a} \cdot {\bf a})({\bf b} \cdot {\bf c})^2] + 2 ({\bf b} \cdot {\bf c}) ({\bf c} \cdot {\bf a})({\bf a} \cdot {\bf b}),\end{multline*}$$ where $\mathfrak{S}[\cdot]$ denotes the cyclic sum of $\cdot$ in ${\bf}, {\bf b}, {\bf c}$. Sería interesante tener una interpretación geométrica de esta cantidad, también.

Answer 3

Se me ocurrió que si uno busca una interpretación geométrica de $B$ , entonces uno tiene que escribirlo en términos de otras cantidades geométricas, es decir, longitud al cuadrado $|a|^2$ , área al cuadrado $|a \times b|^2$ y volumen al cuadrado $|a \cdot (b \times c)|^2$ . Al hacer esto, encontramos que $$B = \frac{1}{2} \left[ |a|^2 |b \times c|^2 + |b|^2 |c \times a|^2 + |c|^2 |a \times b|^2 - |a \cdot (b \times c)|^2\right].$$ Now, $ B$ vanishes only if all three vectors are collinear so it cannot represent any geometrical volume. On the other hand, the dimensionality of $ B$ eliminates the possibility of describing some area. Therefore, I conclude that $ B $ no representa una cantidad geométrica simple.