Cómo formarse una imagen mental de $\mathbf {ijk}=-1$ en cuaterniones?

Question

$\mathbf {ijk}=-1$ es parte de la famosa piedra tallada fórmula por Sir William Rowan Hamilton, permitiendo la multiplicación de trillizos. Ya existe una pregunta de intuición sobre el tema de los cuaterniones, y un post sobre proyecciones estereográficas 3D de rotaciones de cuaterniones en 4D en el Canal de youtube de 3Blue1Brown .

La pregunta es muy concreta sobre cómo imaginar de forma geométrica o intuitiva la igualdad $\mathbf {ijk}=-1$ parte en la fórmula

$$\mathbf {i}^2 = \mathbf {j}^2 = \mathbf {k}^2 =\mathbf {ijk}=-1 $$

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Intento: $\mathbf i$ , $\mathbf j$ y $\mathbf k$ actúan a la izquierda de un cuaternión como una rotación pura; por lo tanto,

$$\mathbf {ijk}\overset{?}=\mathbf {(ij)k}$$

y $\mathbf {i}$ actúa sobre $\mathbf {j},$ girando $\mathbf {j}$ en $\mathbf {k}$ de acuerdo con 3Brown1Blue's Grant Sanderson's "regla de la mano derecha" ilustrado con el siguiente diagrama 3D, correspondiente a la proyección estereográfica de una hiperesfera 4D de cuaterniones con norma $1$ y $0$ componente real, donde el $-\infty,$ $-\mathbf i,$ $1,$ $\mathbf i,$ $+\infty$ la línea amarilla es la proyección de un círculo en 4D que pasa por $-1,$ y centrado en $0,$ de paso $-\mathbf i$ y $+\mathbf i;$ mientras que el rojo-azul $\mathbf j,$ $\mathbf k,$ $-\mathbf j,$ $-\mathbf k$ corresponde a la proyección 3D de una esfera en la hiperesfera 4D que pasa por $-1,$ y centrado en $0,$ y llegar a ambos $\pm \mathbf k$ y $\pm \mathbf j.$ Girando en la dirección de $\mathbf i$ (es decir, multiplicando a la izquierda por $\mathbf i$ ) equivaldría a deslizar la línea amarilla en dirección al pulgar, mientras se gira el círculo rojo-azul siguiendo el apretón del resto de los dedos:

y que resulta en

$$\begin{align}\mathbf {ijk}&\overset{?}=\mathbf {(ij)k}\\ &=\mathbf {kk}\\ &=\mathbf k^2 =-1 \end{align}$$

Answer 1

Tienes razón, esto puede verse como una composición de rotaciones (4D) y, de hecho, este ejemplo en particular proporciona un ejemplo de un fenómeno muy interesante en la geometría euclidiana 4D. Es decir, si empezamos con un punto arbitrario $q$ en $\mathbb{H}$ ,

$$q = a + bi + cj + dk$$

entonces

$$kq = ak + bki + ckj + dkk$$

(los escalares conmutan así que esto está bien) que se convierte a través de las fórmulas habituales,

$$\begin{align} kq &= ak + bj - ci - d\\ &= -d - ci + bj + ak\end{align}$$

Se trata de una rotación en el espacio 4D, como puede verse al observar que su forma matricial es

$$k \equiv \mathbf{K} := \begin{bmatrix} 0 && 0 && 0 && -1 \\ 0 && 0 && -1 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ 1 && 0 && 0 && 0 \end{bmatrix}$$

que se ve fácilmente que es ortogonal, es decir $\mathbf{K}^T \mathbf{K} = \mathbf{I}$ . Además, la expansión por cofactores y menores (que es muy fácil) muestra $\mathrm{det}(\mathbf{K}) = 1$ por lo que sí es una rotación propia (es decir, no es una rotoreflexión).

Sabiendo que es una rotación, la pregunta natural es: ¿sobre qué es una rotación? En 4D, no giramos alrededor de ejes que son líneas, sino que giramos alrededor de aviones Porque una línea da "demasiada libertad" para que un solo ángulo de rotación la capte, de la misma manera que no "giramos alrededor de un punto" en 3D con un solo ángulo de rotación. (Esto puede ser difícil de visualizar, pero así es la 4D).

¿De qué avión se trata? Podemos tener la tentación de observar que mientras esto permuta las 4 coordenadas, se puede ver que fija el plano donde $a = -d$ y $b = -c$ es decir, los cuaterniones de la forma

$$a + bi - bj - ak$$

no se modifican bajo la transformación $\mathbf{K}$ . Ahora bien, puede que te parezca un poco extraño, dado que no se trata de un simple plano de coordenadas, y es, en efecto, un presagio. De hecho, si ves que algo así ocurre en las matemáticas, lo más probable es que esté ocurriendo algo muy extraño; no es ninguna garantía, pero tu sentido arácnido debería sentir un cosquilleo al verlo y sentirte perturbado. En concreto, podemos descomponer esto un poco más. Tomando otro podemos ver que en realidad es la composición de dos rotaciones: una de ellas hace

$$(a + bi + cj + dk) \mapsto (-d + bi + cj + ak)$$

que fija el $ij$ -y es de 90 grados, seguido de

$$(a + bi + cj + dk) \mapsto (a - ci + bj + dk)$$

que fija el $1k$ -plano. Esto también es una rotación de 90 grados. Estos dos planos son ortogonales, y cuando se tiene una rotación en el espacio 4D que está formada por la composición de dos rotaciones del mismo ángulo a través de dos planos ortogonales, se obtiene lo que se llama un isoclínico o Clifford rotación que de hecho fija infinitos planos , otro de los cuales acabamos de encontrar. Se trata de un fenómeno muy extraño que no tiene un análogo sencillo en 3D: en 3D una rotación sólo fijará una línea, su eje, a menos que se trate de una rotación degenerada en cero grados.

Asimismo, las rotaciones por acción de $j$ y $i$ son rotaciones de Clifford similares, y todas ellas actúan juntas para traer $1$ a $-1$ a través de $-1 = i(j(k(1))) = ijk$ . Si quieres, puedes pensar que esto es aproximadamente como una versión hiperdimensional de un cubo de Rubik en el que giras los lados a través de varias posiciones diferentes para mover un parche de color de un lado a otro (aunque no exactamente, ya que aquí todo el "cubo" está girando, pero es una analogía aproximada - lo esencial son las transformaciones encadenadas).

Answer 2

Una imagen mental es, posiblemente, pedir demasiado. Por ejemplo, si se le diera a alguien una descripción verbal o escrita de un dodecaedro, ¿sería suficiente para ayudarle a imaginarlo mentalmente? Tal vez para algunos, pero no para mí (o tal vez es que no me gustan los dodecaedros como los demás sólidos platónicos).

Pero una satisfacción explicación visual-kinestésica es posible utilizando la idea de girar .

Girar un objeto sólido $360$ grados, su orientación inicial coincide con su orientación final. Sin embargo, si la orientación es enredado con su entorno, su "orientación enredada" es diferente. Se puede imaginar un cinturón, o varios cinturones, unidos a un cubo que gira, por ejemplo:

$\hskip 2in$

Resulta que requiere $720^{\circ}$ de "girar" antes de que la "orientación enredada" vuelva a su estado inicial, y esto se puede ver con el llamado truco del plato Poner un plato en la mano (con la palma hacia arriba), sostenerlo y girarlo. $360^{\circ}$ (bajo el brazo) - no volverá a la normalidad - y luego otro $360^{\circ}$ .

(Se puede hacer todo esto matemáticamente riguroso invocando homotopía .)

En el llamado grupo de espín $\mathrm{Spin}(3)$ Esto significa que si $S_{360}$ es el giro por $360^{\circ}$ no es equivalente a la rotación de identidad $S_0$ Sin embargo $(S_{360})^2=S_{720}$ es igual a $S_0$ . Algebraicamente, esto último equivale a decir $S_{360}$ es su propia inversa, es decir $(S_{360})^{-1}=S_{360}$ y esto se puede representar con el truco de la cuerda:

$\hskip 2in$

Lo anterior demuestra que girar la pelota una vez en una dirección es equivalente a girarla una vez en la otra. También se puede representar con el truco del cinturón :

$\hskip 2in$

Éste muestra que dos rotaciones completas son equivalentes a ninguna rotación, pero con el cinturón sujeto (a un objeto invisible, por ejemplo) en un lugar diferente con respecto al eje de rotación.

El truco del cinturón también puede utilizarse para demostrar $\mathbf{ijk}=-1$ pero primero tenemos que averiguar cómo interpretar los cuaterniones como rotaciones. (La razón por la que se descubrieron/inventaron en primer lugar fue para generalizar el uso de los números complejos que describen rotaciones en 2D a 3D). Los cuaterniones unitarios tienen formas polares $p=e^{\theta\mathbf{v}}$ para vectores unitarios $\mathbf{v}$ (es decir, raíces cuadradas de uno negativo, por lo que se aplica la fórmula de Euler), y el efecto de conjugar un vector 3D $\mathbf{x}$ por $p$ (que da lugar a $p\mathbf{x}p^{-1}$ ) está girando $\mathbf{x}$ alrededor del eje orientado $\mathbf{v}$ por el ángulo $2\theta$ .

Desde $\mathbf{v}$ tiene forma polar $\exp(\frac{\pi}{2}\mathbf{v})$ la rotación correspondiente es $180$ grados alrededor $\mathbf{v}$ (en cualquier dirección). Por lo tanto, coge un cinturón y sostenlo recto frente a ti (como los nunchuks, supongo). Presta atención a la orientación de la hebilla del cinturón, ya que (en orden) lo giras alrededor del $\mathbf{k}$ -, $\mathbf{j}$ - y $\mathbf{i}$ -ejes. El efecto es que la propia hebilla volverá a su posición original, pero el cinturón tendrá una $360^{\circ}$ giro en él, representado por el cuaternión $-1$ .

Answer 3

En uno de los vídeos de Cohl Furey sobre los octoniones En la página web de la empresa, ella publicó una forma muy intuitiva de pensar en los cuaterniones (he enlazado el segmento correspondiente). Esto da la intuición acerca de por qué decir, $ij = k$ y luego $ijk = k^2 = -1$ sigue fácilmente.

Esto es lo esencial:

Si se multiplican dos cantidades consecutivas (en el sentido de las agujas del reloj), se obtiene el siguiente valor. Si te mueves en sentido contrario a las agujas del reloj (es decir, en contra de las flechas), funciona la misma regla pero obtienes un signo menos. Así que $jk = i$ y $ik = -j$ por ejemplo.

No estoy seguro de que esto sea original de Cohl, pero lo vi por primera vez en su conferencia. Esto también podría no calificar como intuición como se pide en el cuerpo de tu post, pero debería calificar como una imagen mental como lo pediste en tu título.

Answer 4

ESTO NO ES UNA RESPUESTA - Sólo un apéndice / comentario extendido que no pertenece al post original...

La respuesta de @anon contiene un "truco del cinturón" para ilustrar el $\bf{ijk}=-1.$ Explicado con palabras era bastante confuso, pero (después de sus fotos sujetando su cinturón incluidas en los comentarios de su post como enlace Creo que la idea puede ilustrarse de la siguiente manera:

Aquí está la parte de la respuesta de @anon pertinente a la ilustración:

Desde $\mathbf{v}$ tiene forma polar $\exp(\frac{\pi}{2}\mathbf{v})$ la rotación correspondiente es $180$ grados alrededor $\mathbf{v}$ (en cualquier dirección). Así pues, coge un cinturón y mantenlo recto delante de ti (como los nunchuks, supongo). Presta atención a la orientación de la hebilla del cinturón, ya que (en orden) lo giras alrededor del $\mathbf{k}$ -, $\mathbf{j}$ - y $\mathbf{i}$ -ejes. El efecto es que la propia hebilla volverá a su posición original, pero el cinturón tendrá una $360^{\circ}$ giro en él, representado por el cuaternión $-1$ .

Elementos de fondo:

Cuaterniones imaginarios unitarios son de la forma

$$\left( 0, a{\bf i} + b{\bf j} + c {\bf k } \right)$$

tal que $a^2 + b^2 + c^2 = 1.$

Está demostrado que aquí que

$$\left( a{\bf i }+ b{\bf j} + c {\bf k} \right)^2=-1$$

permitiendo su expresión como

$$e^{\theta \vec {\bf v}}= \cos \theta + \sin \theta\; \vec {\bf v}$$

Una rotación de $180$ grados alrededor del vector unitario imaginario $\vec {\bf v}$ corresponderá a

$$e^{\frac \theta 2 \vec {\bf v}}=e^{\frac\pi 2 \vec {\bf v}}$$

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Aquí hay un enlace .