¿Por qué $\sum_{i=1}^n a$ siempre es irracional si $n>0$ y $a$ son irracional?

Question

Estoy haciendo esta pregunta porque yo era incapaz de encontrar una respuesta en otros lugares como la mayoría de las preguntas son acerca de la suma de los diferentes números irracionales, que no es lo que trata esta cuestión. Aquí, estoy interesado en demostrar que el resultado de la suma de los mismos número irracional es siempre irracional: $\sum_{i=1}^n a$, donde $n$ es un entero no negativo, $>0$ e $a$ es un irracional constante.

Answer 1

Es trivial para. Si usted suma el número irracional <span class="math-container">$x$</span> <span class="math-container">$n$</span> veces (<span class="math-container">$n$</span> siendo un entero "por supuesto"), usted termina con <span class="math-container">$nx$</span>.

Si <span class="math-container">$nx=\frac ab$</span>, con números enteros <span class="math-container">$(a,b)$</span> <span class="math-container">$x=\frac{a}{nb}$</span>, por lo tanto es racional, que no es cierto...

Answer 2

$\sum k_ia = a(\sum k_i)$ e $\sum k_i$ es racional.

Y si $\sum k_i \ne 0$ entonces a (distinto de cero) racional veces irracional es irracional.

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Supongo que es algo importante a señalar que si la suma es $0$ como $a + 2a - 3a$ o $k_1a + k_2 a + ..... + k_n a$ donde $k_1 + k_2 + .... + k_n = 0$, entonces la afirmación es trivialmente falso.

Pero que es la única excepción.