Si $n$ es un número entero no divisible por 2 o 5, entonces demuestre que hay un múltiplo de $n$ compuesto sólo por unos.
Lo había demostrado para los primos utilizando el teorema de Fermat. Pero no puedo demostrarlo para los números compuestos. Cualquier ayuda será apreciada.
Considere los restos cuando $10^1$ , $10^2$ , $10^3$ y así sucesivamente se dividen por $9|n|$ . Por el Principio de la Colocación, existen números naturales $i$ y $j$ tal que $i\lt j$ y $10^i$ y $10^j$ tienen el mismo resto en la división por $9|n|$ .
De ello se desprende que $9|n|$ divide $10^{i}(10^{j-i}-1)$ . Desde $10^i$ y $9|n|$ son relativamente primos, concluimos que $9|n|$ divide $10^{j-i}-1$ .
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Sugerencia: empezar con $a$ tal que $10^a\equiv 1 \; mod(n)$
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Para los compuestos, utilice el teorema de Euler.