Si $n$ es un número entero no divisible por 2 o 5, entonces demuestre ...

Question

Si $n$ es un número entero no divisible por 2 o 5, entonces demuestre que hay un múltiplo de $n$ compuesto sólo por unos.

Lo había demostrado para los primos utilizando el teorema de Fermat. Pero no puedo demostrarlo para los números compuestos. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Considere los restos cuando $10^1$ , $10^2$ , $10^3$ y así sucesivamente se dividen por $9|n|$ . Por el Principio de la Colocación, existen números naturales $i$ y $j$ tal que $i\lt j$ y $10^i$ y $10^j$ tienen el mismo resto en la división por $9|n|$ .

De ello se desprende que $9|n|$ divide $10^{i}(10^{j-i}-1)$ . Desde $10^i$ y $9|n|$ son relativamente primos, concluimos que $9|n|$ divide $10^{j-i}-1$ .