Comprender los paseos aleatorios y los teoremas/definiciones relacionados

Question

Estoy leyendo el libro de Durret, capítulo 4 sobre Paseos al azar. En lugar de dedicar el tiempo a lamentarme y frustrarme por lo malo que me parece este libro, creo que voy a recurrir a Stack Exchange para que me ayude a entender algunas cosas.

Voy a hacer varias preguntas a lo largo de tres posts para que sea más probable que la gente responda.
Además, no sabía nada de Random Walks antes de leer este libro. (¿Quizás eso sea relevante?)

Si $(S,F,\mu)$ es una medida sapce, Durret nos dice que para esta sección nuestro espacio de probabilidad es

$\Omega = S^{\mathbb{N}}$ $($ es decir, secuencias de elementos de $S)$ donde $F^{\mathbb{N}}$ es el correspondiente $\sigma$ álgebra, y $P = \mu \times \mu ...$ es nuestra medida. Por último, $X_n(\omega) = \omega$

Dada una permutación finita, $\pi$ de $\mathbb{N}$ Durret se refiere a un evento $A \in F^\mathbb{N}$ siendo permutable para cualquier permutación finita $\pi$ proporcionado $\pi^{-1}(A) = A$ . El conjunto de estos eventos se denomina $\sigma$ campo. Bien, genial.

Según Durret, si $S = \mathbb{R}$ y $S_n(\omega) = X_1(\omega) + X_2(\omega) + ... X_n(\omega) = \omega_1 + \omega_2 + ...$

$1:\{\omega: S_n(\omega) \in B \ \ i.o \}$ es permutable; sin embargo, no es un evento de cola. Como era de esperar, Durret no dice qué $B$ es. Supongo que es un subconjunto de $S$ sin embargo. No entiendo por qué no es un evento de cola. Por favor, explique esto si puede.

$2$ : En su prueba de la Hewitt-Savage $0-1$ ley, Durret dice que podemos elegir $A_n \in \sigma(X_1,...X_n)$ tal que $P(A_n \Delta A) \to 0$ No entiendo lo que los conjuntos $A_n \Delta A$ y por qué $A_n$ se puede elegir de manera que $P(A_n \Delta A) \to 0$

Me detengo aquí y hago más preguntas en otro post.

Answer 1

Trabajaré a partir de la edición 4.1 del texto de Durrett, disponible aquí :

1) El conjunto $B$ pretende ser cualquier subconjunto de Borel del espacio de estados. En cuanto a por qué el evento $\{\omega : S_n(\omega) \in B \text{ i.o.} \}$ no es un evento de cola: observe que el evento $\{\omega : S_n(\omega) \in B\}$ está contenida en el $\sigma$ -campo $\mathcal F_n = \sigma(X_1, \dots, X_n)$ . El campo de la cola es, en cierto sentido, lo contrario a esto; es $\cap_n \mathcal F_n'$ , donde $\mathcal F_n' = \sigma(X_n, X_{n+1}, \dots)$ . En resumen: los eventos permutables son aquellos que no dependen del pedir de la primera $n$ términos, pero los eventos de cola son los que no dependen en absoluto de esos términos .

He aquí un ejemplo instructivo, aunque hay que reconocer que no es exactamente el tema del capítulo: dejemos que $X_0, X_1, \dots$ sea tal que $X_0 = \pm 10$ y para $n \geq 1$ , $X_n = \pm 1/2^n$ , todas ellas independientes y con cada posibilidad de $50\%$ oportunidad. La suma $\sum_{n=1}^{\infty} X_n(\omega)$ convergerá absolutamente para cada $\omega$ a un valor máximo de $1$ . Así, para cualquier $n$ la suma $S_n$ será como máximo $1$ lejos de cualquiera de los dos $10$ o $-10$ dependiendo del resultado de $S_0$ . O, dicho de otro modo: el evento $\{S_n \in [9, 11] \text{ i.o.}\}$ tendrá una probabilidad de $50\%$ . Esto nos dice automáticamente que no es un evento de cola, porque sabemos por la Ley 0-1 de Kolmogorov (Thm 2.5.1) que los eventos de cola sólo pueden tener probabilidad $0$ o $1$ . Sin embargo, permutando la primera $m$ coordenadas del paseo aleatorio no cambiará el valor de $S_n$ siempre y cuando $n > m$ por lo que se trata, efectivamente, de un elemento de los intercambiables $\sigma$ -campo.

He mencionado que este ejemplo no era el tema del capítulo, y eso es precisamente porque no es un paseo aleatorio; la novedad de un paseo aleatorio es que la suma debe construirse a partir de $X_i$ términos que no son sólo independientes, como lo eran aquellos, pero también idénticamente distribuidos . Esa condición adicional cambia el juego de manera significativa. También es la naturaleza del comentario de Durrett justo antes de la ley Hewitt-Savage 0-1:

El siguiente resultado muestra que para una secuencia i.i.d. no hay diferencia entre $\mathcal E$ y $\mathcal T$ . Ambos son triviales.

2) Esto se adentra un poco en el teorema de extensión de Caretheodory, pero la prueba de este resultado se encuentra en el apéndice (y Durrett lo cita en su prueba de la Ley de Hewitt-Savage). No reproduciré la prueba aquí, porque es fácil de encontrar en el texto, pero intentaré dar alguna intuición al respecto: ya que $A \in \sigma(X_1, X_2, \dots)$ hay una secuencia de eventos $A_n \in \sigma(X_1, \dots, X_n)$ que debería Aproximadamente $A$ de la manera descrita (es decir $A_n$ y $A$ no son tan diferentes, y su diferencia disminuye a medida que $n$ aumenta). A grandes rasgos, esto viene de construir el $\sigma$ -campo $\sigma(X_1, \dots )$ en un proceso de limitación de $\sigma(X_1, \dots, X_n)$ .