¿Cuáles son los campos intermedios de $\mathbb Q(\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}})$ (grupo de Galois)

Question

Los elementos del grupo de Galois son

\begin{align*} \sigma _1:\mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}]&\longrightarrow \mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}],\\ \sqrt[3]{2}&\longmapsto \sqrt[3]{2},\\ e^{\frac{2i\pi}{3}}&\longmapsto e^{\frac{2i\pi}{3}}, \end{align*} \begin{align*} \sigma _2:\mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}]&\longrightarrow \mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}],\\ \sqrt[3]{2}&\longmapsto \sqrt[3]{2}e^{\frac{2i\pi}{3}},\\ e^{\frac{2i\pi}{3}}&\longmapsto e^{\frac{2i\pi}{3}}, \end{align*} \begin{align*} \sigma _3:\mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}]&\longrightarrow \mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}],\\ \sqrt[3]{2}&\longmapsto \sqrt[3]{2}e^{\frac{4i\pi}{3}},\\ e^{\frac{2i\pi}{3}}&\longmapsto e^{\frac{2i\pi}{3}}, \end{align*} \begin{align*} \sigma _4:\mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}]&\longrightarrow \mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}],\\ \sqrt[3]{2}&\longmapsto \sqrt[3]{2},\\ e^{\frac{2i\pi}{3}}&\longmapsto e^{\frac{4i\pi}{3}}, \end{align*} \begin{align*} \sigma _5:\mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}]&\longrightarrow \mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}],\\ \sqrt[3]{2}&\longmapsto \sqrt[3]{2}e^{\frac{2i\pi}{3}},\\ e^{\frac{2i\pi}{3}}&\longmapsto e^{\frac{4i\pi}{3}}, \end{align*} \begin{align*} \sigma _6:\mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}]&\longrightarrow \mathbb Q[\sqrt[3]2,e^{\frac{2i\pi}{3}}],\\ \sqrt[3]{2}&\longmapsto \sqrt[3]{2}e^{\frac{4i\pi}{3}},\\ e^{\frac{2i\pi}{3}}&\longmapsto e^{\frac{4i\pi}{3}}. \end{align*}

Observamos que

\begin{align*} \sigma _2^3=1\\ \sigma _3^3=1\\ \sigma _4^2=1\\ \sigma _5^2=1\\ \sigma_6^2=1 \end{align*} Pero $$\sigma _2\sigma _4(\sqrt[3]2)=\sigma _2(\sqrt[3]2)=\sqrt[3]2e^{\frac{2i\pi}{3}}$$ y $$\sigma _4\sigma _2(\sqrt[3]2)=\sigma _4(\sqrt[3]2e^{\frac{2i\pi}{3}})=\sqrt[3]2e^{\frac{4i\pi}{3}},$$ por lo tanto $\{\sigma _i\}_{i=1}^6$ no es un grupo conmutativo y por tanto $$\text{Gal}(E/\mathbb Q)=\{\sigma _i\}_{i=1}^6\cong \mathfrak S_3.$$

Mi problema es que debería tener un $\sigma _i$ tal que $\sigma _i^6=1$ y $\sigma _i^n\neq 1$ para $i\in\{1,2,3,4,5\}$ porque uno de mis campos intermedios debe ser $\mathbb Q$ . Y si no, ¿hay algún error en mi solicitud? $\sigma _i$ ?

Answer 1

Los subcampos son los campos fijados por un subgrupo del grupo de Galois. No todos los subgrupos están generados por un único elemento, por lo que no es un problema que no haya ningún elemento de orden $6$ .

Answer 2

Como usted ha encontrado $Aut_{\mathbb{Q}}L \simeq S_3$ entonces los campos intermedios de $Gal (X^3-2, \mathbb{Q})$ corresponden a los subgrupos de $Aut_{\mathbb{Q}}L$ según el Teorema Fundamental de Galois. Ahora bien,

$$S_3 = \{Id, \sigma, \sigma^2, \tau, \sigma\tau, \sigma^2\tau\}$$

Observe que hay un elemento $\sigma$ de orden $3$ generando un subgrupo cíclico de orden $3$ es decir, $\langle\sigma\rangle$ y 3 elementos de orden $2$ . Lo que falta es identificar esos elementos $\sigma$ y $\tau$ entre sus automorfismos $\sigma_i$ para encontrar exactamente los campos intermedios de $L = Gal (X^3-2,\mathbb{Q})$ a través de la correspondencia de Galois.

Pista: $\sigma = \sigma_2$ (hay que comprobarlo)