¿la definición del modelo depende de una teoría o a una firma?

Question

Σ:firma

T:Σ-teoría

Para M:Σ-modelo que satisface T, ¿es apropiado el nombre de "Σ,T-modelo" o "Σ-modelo satisfactorio T"? En comparación, en el contexto de Lawvere teorías, cualquier Lawvere teoría de L incorpora una firma así como axiomas. Si construimos L de Σ y T, cualquier L-modelo obviamente satisface T. por lo Tanto "Σ,T-modelo" parece como un nombre apropiado.

Answer 1

La terminología habitual en el modelo de la teoría es que para un determinado lenguaje de la firma o $\Sigma$, se puede hablar de una estructura en la firma de $\Sigma$, $\Sigma$-estructura, y esto no impone requisitos sobre la teoría de la modelo. Cuando uno tiene una teoría de la $T$ en el idioma de $\Sigma$, se puede tener un modelo de $T$, que es una estructura en la que la firma de la satisfacción de esa teoría.

Una ambigüedad, como se nota, es que si una teoría es considerada como un conjunto de oraciones, entonces uno no puede decir que el lenguaje de la teoría, pues tal vez en algunas partes de la lengua no fueron utilizados en la teoría. Esta ambigüedad no es en realidad ambigua, en la práctica, si la firma se $\Sigma$ es claro a partir del contexto, y cuando no es así, entonces usted está bien que uno debe decir lo que el lenguaje es, en los casos que esta es una diferencia importante. Así, en la práctica, esto equivale esencialmente a la misma como la Lawvere la práctica.

Un ejemplo interesante donde la distinción es importante, es que es posible para una teoría de la $T$ a ser decidable en una pequeña lengua, pero no en un mayor lenguaje. Por ejemplo, la aritmética de Presburger es decidable en la lengua con $+$, pero no en el idioma de tener las dos más y a veces, incluso cuando no hay axiomas adicionales se agregan sobre los tiempos. De hecho, casi no hay teoría que será decidable en un idioma que incluye extra sin mencionar binario o superior arity relación o función de símbolos, ya que el vacío de la teoría en el lenguaje con dicha relación o funciones de los símbolos es indecidible.

En la práctica, los investigadores a menudo utilizan el término modelo cuando no hay teoría que ha sido especificado, y en tales casos, por lo general significa la estructura, a menos que una teoría particular y firma está implícito.

Finalmente, en cuanto a su propuesta para el término "$\Sigma,T$-modelo", que me dicen que mi propio gusto tiende hacia el lenguaje natural de las formulaciones, donde simplemente se podría hablar de un modelo de $T$ en el idioma $\Sigma$.