Subconjunto de espacio de secuencia cerrado

Question

¿Se cierra el conjunto $E:={(xn){n\in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}\ |\; xi \in \mathbb{C}, \lim{n \rightarrow \infty } x_n = 0 }$ $\ell^{\infty}$ equipadas con $\lVert (xn){n\in \mathbb{N}} \lVert{\infty}=\sup{n\in\mathbb{N}} |x_n|$?

He llegado a la siguiente solución: que $(xn){n\in\mathbb{N}} \in \ell^{\infty}\setminus E$. Así $\exists\, \varepsilon >0$ tal que $\forall N \in \mathbb{N} \quad \exists m>N$ $|x_m|>\varepsilon$. Así $(yn){n\in\mathbb{N}} \in B_{\epsilon /2}((xn){n\in \mathbb{N}})\quad \forall N\in\mathbb{N}\quad \exists m>N$ $|y_m|>\epsilon /2$ y $(yn){n\in\mathbb{N}} \in\ell^{\infty}\backslash E$. Así que está abierto $\ell^{\infty}\backslash E$ y $E$ es cerrado.

¿Es correcta esta solución?

Answer 1

Si $x=(xn){n\in\Bbb N}\notin E$, no es convergente a $0$ y podemos encontrar $\varepsilon>0$ y $A\subset\Bbb N$ infinito tal que $|x_n|\geq 2\varepsilon$ % todo $n\in A$(pero no es necesariamente cierto para $n$ suficientemente grande). La bola de $B(x,\varepsilon)$ se encuentra en $E^c$ desde $|y_n|\geq \varepsilon$ % todos $n\in A$y $y=(yn){n\in\Bbb N}\in B(x,\varepsilon)$.