Existen enteros positivos $q$, $n$, $d$ tal que $q\perp n$ y $$ q,\ q+n,\ q+2n,\,\ldots\, p+(d-1)n $$
son todos no coprime a $d$?
Creo que no hay, pero hasta ahora no pude probarlo. Numérico de búsqueda (arriba a ~400) parece apoyar esta afirmación. No son bien conocidos los resultados sobre la distribución de los números primos en tal progresión (Dirichlet del teorema dice que contiene una infinidad de números primos, Linnik del teorema proporciona un límite inferior en el tamaño de la primera), pero ninguno parece directamente aplicable.
No he hecho ningún progreso significativo, sólo he probado algunas trivialidades. Supongamos que existen tales números. A continuación, vamos a $$ q+rn = s_r\mod d $$ y $d_r=\gcd\left(s_r, d\right)$.
Si $p\mid s_r$, $p\mid n$, a continuación,$p\mid q$, y por lo $p=1$, por lo tanto $d_r$ $n$ siempre coprime.
Los residuos no son coprime a $d$, por lo tanto, al menos dos de ellos son iguales: $$ (r-s)\,n=0\mod d $$ y desde $\left|r-s\right|<d$, se deduce que el $n$ $d$ no coprime.
si $q+rn=0\ \mbox{mod } d$, $r\neq 0$, a continuación,$\gcd\left(n, d\right)\mid q$, lo que contradice $n\perp q$
- $s_r$, $s_{r+1}$ son coprime, desde un divisor común dividiría su diferencia - $n$, pero entonces no se puede dividir $q$, y por lo tanto no es un divisor de a $q+rn=s_r$.
- En consecuencia, $d_r$ $d_{r+1}$ son coprime.
Aún así, es sólo un desordenado montón de observaciones.
