¿Por qué los efectos cuánticos de la gravedad se vuelven importantes en la escala de Planck?

Question

El argumento heurístico estándar de por qué los efectos cuánticos de la gravedad se vuelven importantes a escala de Planck es considerar las escalas de longitud en las que tanto la teoría cuántica de campos (QFT) como la relatividad general (GR) se vuelven cruciales para explicar los fenómenos físicos.

Para la QFT, esto ocurre cuando la escala de longitud es del orden de la longitud de onda de Compton de una partícula, $$l_{c}=\frac{h}{mc},$$ ya que si se intenta confinar una partícula dentro de esta longitud, es posible que ocurra la creación de pares y, por lo tanto, el concepto de partícula se desintegra y se requiere la QFT.

Para la GR, esto ocurre cuando la escala de longitud es del orden del radio de Schwarzschild de una partícula, $$l_{s}=\frac{2Gm}{c^{2}},$$ ya que comprimir la masa de una partícula dentro de este radio resulta en la formación de un agujero negro que requiere la GR para comprender su comportamiento.

Por lo tanto, se espera que cuando estas dos longitudes sean del mismo orden, es decir, $l_{c}\sim l_{s}$, los efectos cuánticos de la gravedad se vuelvan importantes. Esto ocurre cuando $$\frac{h}{mc}\sim\frac{2Gm}{c^{2}}\Rightarrow m^{2}\sim\frac{hc}{2G}\sim m_{P}^{2}$$ Es decir, cuando la masa de la partícula es del mismo orden que la masa de Planck.

Lo que no tengo claro es por qué la longitud de onda de Compton. ¿Por qué no la longitud de onda de de Broglie, ya que esta es la escala de longitud en la que la naturaleza cuántica de un objeto se hace evidente?

¿Es simplemente porque la QFT es consistente con la relatividad especial y la mecánica cuántica estándar no lo es, por lo que es la escala en la que la QFT se vuelve crucial la que establece la escala para la gravedad cuántica?

Answer 1

Del QFT del profesor Tong

Aprendemos que los pares partícula-anti-partícula se espera que sean importantes cuando una partícula de masa m se localiza a una distancia del orden de

\=h/mc

En distancias más cortas que esta, hay una alta probabilidad de que detectemos pares de partícula-anti-partícula revoloteando alrededor de la partícula original que colocamos. La distancia es llamada la longitud de onda de Compton. Siempre es más pequeña que la longitud de onda de de Broglie

Uno tiene que recordar que c es la velocidad máxima debido a la relatividad especial y por lo tanto la menor longitud de onda de una partícula específica de masa m.

Él continúa:

Si así lo desean, la longitud de onda de de Broglie es la distancia en la que la naturaleza ondulatoria de las partículas se hace aparente; la longitud de onda de Compton es la distancia en la que el concepto de una sola partícula puntual se descompone completamente

La teoría cuántica de campos se basa en la mecánica cuántica relativista: los operadores de creación y aniquilación operan en funciones de onda de partículas libres, del campo de Dirac para fermiones, del Klein Gordon para bosones y de las ecuaciones de Maxwell cuantizadas para fotones. Estas partículas libres se consideran partículas puntuales, y las expansiones de QFT de las soluciones dependen del hecho de que las correcciones de orden superior son de menor valor que el primer orden. hay una alta probabilidad de que detectemos pares de partícula-anti-partícula revoloteando alrededor de la partícula original que colocamos. significa que la expansión en serie se descompone y los cálculos de QFT dependientes de partículas puntuales ya no son confiables.

Al mismo tiempo, los cálculos clásicos de la relatividad general se descomponen, terminando en singularidades, por encima del radio de Schwarzschild de una partícula,

Lo que no estoy seguro es por qué la longitud de onda de Compton? ¿Por qué no la longitud de onda de de Broglie, ya que esta es la escala de longitud en la que la naturaleza cuántica de un objeto se hace evidente?

La velocidad máxima es c para una partícula de masa en reposo m, y por lo tanto describe el momento máximo posible de una onda de deBroglie

¿Es simplemente porque QFT es consistente con la relatividad especial y la mecánica cuántica estándar no lo es y por lo tanto es la escala en la que el QFT se vuelve crucial lo que establece la escala para la gravedad cuántica?

QFT se basa en la mecánica cuántica estándar. Sus operadores de creación y aniquilación actúan sobre funciones de onda relativistas de partículas puntuales para describir los diagramas de Feynman utilizados en los cálculos. Realmente es la escala donde QFT se descompone como una expansión perturbativa, y la base subyacente de partículas puntuales.

Por otro lado, se espera que la cuantización de la gravedad elimine las singularidades de la relatividad general clásica. Ya en el modelo del Big Bang se introduce una región difusa donde se utiliza la mecánica cuántica efectiva para los cálculos. En energías de la masa de Planck ya no hay partículas puntuales del modelo estándar, y en varios modelos se utiliza una masa de Planck como la partícula en las expansiones de la gravedad cuantizada, (ver la nota 96 en el enlace) pero todo esto no es riguroso. Una cuantización definitiva de la gravedad definirá qué tipo de expansiones perturbativas serán válidas en esas escalas energéticas.

Answer 2

El usuario anna v ya ha dado una respuesta correcta. En esta respuesta tratamos de resumir.

En pocas palabras, la escala de Planck de la gravedad cuántica está determinada por las 3 constantes físicas $G$, $c$ y $h.

1. Cuando la longitud de onda $\lambda$ alcanza el radio de Schwarzschild, la energía en reposo $mc^2$ alcanza el orden de la energía gravitacional $Gm^2/\lambda.

2. Cuando la longitud de onda $\lambda$ alcanza el orden de la longitud de onda de Compton, la energía en reposo $mc^2$ se vuelve comparable con la energía $hc/\lambda$ de un quantum.

Por el contrario, la longitud de onda de de Broglie $h/|{\bf p}|$ carece de información sobre la teoría de la relatividad y no logra identificar la escala característica pertinente.