Prueba usando Rolle ' s teorema a demostrar existe c tal que f$^4$(c) = 0, para un < c < b

Question

La pregunta es la siguiente:

Dar 3 información:

(1) f es un polinomio (así puedo reclamar f es continua en cada punto)

(2) $f(a) = f'(a) = f''(a) = f'''(a) = 0$

(3) $f(b) = 0$

Objetivo: utilizar Teorema de Rolle para mostrar que no es c satisfacciones $a < c < b$ tal que $f^4(c) = 0$

Aquí va mi intento:

1/ Recordar Teorema de Rolle:

Si f es continua en a $[a,b]$ y f es diferenciable en a $(a,b)$

[ i.e: f'(x) existe en a < x < b ], y $f(a) = f(b)$

Entonces existe c tal que $a < c < b$ $f'(c) = 0$

2/ Por la condición (2) y (3), $f(a) = f(b) = 0.$
Así que hay k satisfacer $a < k < b$ $f'(k) = 0$ por Rolle

Ahora $f'(k) = f'(a) = 0$, entonces el uso de Rolle, de nuevo, no es m satisfacer $a < m < k < b$ $f''(m) = 0$

Continuar hasta el 3 de derivados, donde debo conseguir $f'''(n) = f'''(a) = 0$ donde $a < n < m < k < b$. A continuación, el uso de Rolle de nuevo, me dicen que hay c satisfacciones $a < c < n < m < k < b$ tal que $f^4(c) = 0$. c sin duda satisface a < c < b, ya que c < algo < b, ese "algo", es decir, n, m, k.

**¿Podría alguien por favor revise mi prueba de errores? De alguna manera siento que mi prueba es un poco demasiado obvio para ser verdad >_< Pero ya que el problema me pide específicamente el uso Teorema de Rolle, este enfoque es la primera forma en que puedo pensar.

Gracias de antemano ^_^

Answer 1

La prueba que bosquejó es exactamente lo que estaba pensando después de leer los 3 puntos junto con la solicitud de uso de Teorema de Rolle. Así que en principio, OK me parece:-).