Pregunta sobre cadena de Markov

Question

Sabemos que si ${Xn}$ es una cadena de Markov, entonces $X{n+1}$ es independiente de lo últimos Estados $X0,\ldots,X{n-1}$ dado el actual estado $Xn$, que es %#% $ #% qué tal si le damos varios posibles estados actuales, todavía tenemos $$P{X{n+1}=j|X_0=i_0,\ldots,Xn=i}=P{X{n+1}=j|X_n=i}$ $ intuitiva es correcta, pero me pregunto cómo probar usando el definición original.

Answer 1

Esto es incorrecto. Para un contraejemplo, se asume que el espacio de Estado tiene tamaño $2$ entonces, si $i\ne i'$, $P(X_2=j\mid X_0=x_0,X_1\in{i,i'})=P(X_2=j\mid X_0=x_0)$ y $P(X_2=j\mid X_1\in{i,i'})=P(X_2=j)$ pero, en general, $X_0$ y $X_2$ no son independientes.