Hausdorff cubriendo el espacio de un cociente

Question

Estoy en problemas con esto (tal vez simple) ejercicio:

Deje $X$ ser un topológico de Hausdorff espacio y deje $G$ un grupo finito de automorphism de $X$. Supongamos que $G$ actúa en $X$ sin puntos fijos (es decir,$\forall \,\psi \in G \setminus \{id\}$$\psi(x) \neq x \quad \forall \, x \in X$). A continuación, $p \colon X \to X/G$ junto con $X$ es un cubra el espacio de $X/G$ donde $p$ es la proyección canónica.

Mi primera idea es demostrar que $G$ es propiamente discontinua. De hecho, $G$ es un grupo finito, por lo que suponemos $G= \{g_0,\dots,g_n\}$. Deje $x_0 \in X$ y ahora tenemos en cuenta su órbita bajo la acción de $G$, dicen $O_{x_0} =\{x_0,x_1, \dots, x_n\}$; $X$ es Hausdorff entonces no existe $V_i$ distintos barrios de $x_i$ respectivamente ($V_i \cap V_j= \emptyset \, \, \forall i \neq j$). Ahora, por ejemplo tomamos $g_i$ tal que $g_i(x_0)=x_i$; tenemos que demostrar que sale de un barrio de $x_0$, decir $U_i$, de tal manera que $g_i(U_i) \subset V_i.$ creo $U_i = V_0 \cap g_{i}^{-1}(V_i)$ podría funcionar, pero no sé exactamente por qué (¿alguna idea?). Entonces llamamos a $U= \bigcap_{i=0}^{n} U_i$. Por lo tanto, teóricamente, $U \subset V_0$$g_i(U) \subset V_i$$U \cap g_i(U) = \emptyset \, \, \forall \,i$.

Ahora, si yo supiera $X$ está conectado y localmente arcwise conectado llego a la conclusión de la prueba. Así que, ¿cómo demostrar la declaración, sin saber a $X$ está conectado y localmente arcwise conectado? Creo $p$ es una tarjeta abierta, es útil esta información?

Answer 1

Por lo que la configuración es la que se proponen:

$x_0 \in X$, $G = \{g_0, \ldots,g_n\}$ con $g_0 = \mathrm{id}_X$, $x_i = g_i(x_0)$ para $i \in \{0,\ldots,n\}$.

Si usted encuentra un $U_0$ tal que $x_0 \in U_0$ que $\{g_i[U_0]: i =0,\ldots n\}$ son disjuntos a pares, a continuación, $p[U_0]$ es la necesaria uniformemente cubierto barrio de $p(x_0)$$p^{-1}[p[U_0]] = \oplus_{i=0}^n g_i[U_0]$, todos los cuales son homeomórficos abrir sets, y $p$ es un homeomorphism entre el $g_i[U_0]$ y su imagen.

Una forma de obtener un $U_0$ es tomar de a pares distintos barrios de $V_i$ de la $x_i$ por Hausdorffness y tomar, como usted propone, $U_0 = \bigcap_{i=0}^n g_i^{-1}[V_i]$. Esto es tan necesario como $g_i[U_0] \subseteq V_i$ todos los $i$, por lo que la familia de sus imágenes es de a pares distintos.

Los únicos requisitos para cubrir mapa son uniformemente cubierto barrios y continua y en. Los dos últimos son los de la construcción (todos cociente mapas de obedecerla) y el primero me lo acaba de probar. Dispone de conexión es necesaria.