¿Singularidad de la operación para una categoría preadditive?

Question

Cuando se trabaja sobre los problemas en la Rotman del Álgebra, él nos pide que nos muestran que los Grupos no es un preadditive categoría. Si pudiéramos demostrar que la operación binaria en $\mathrm{Hom}(A,B)$ tenía que ser $f + g \mapsto f(x)g(x)$, entonces estoy totalmente de entender cómo proceder. Sin embargo, me parece no puede encontrar una manera de mostrar que esta debe ser la operación binaria en el hom conjunto. Del mismo modo, tiene sentido que el "cero mapa" que debe ser la identidad de la operación, pero no veo cómo demostrar.

Pensé que podría utilizar a la izquierda y a la derecha la distributividad de relacionar el hom conjuntos, pero no lo podía hacer el trabajo para conseguir lo que quiero.

Mi pregunta es si el preadditive estructura es única, y si es así, ¿cómo se demuestra esto?

Answer 1

Preadditive estructura no es única en general. Sin embargo, en presencia de un objeto de cero y forestales (es decir, binario productos que son naturalmente isomorfos a coproductos binario), hay un enriquecimiento único sobre monoids comutativo y así, a lo más uno (pre) estructura aditiva. Ver este post para más detalles.

Answer 2

Con respecto a la singularidad, una $\text{Ab}$enriquecido categoría con un objeto es un anillo. La cuestión de si la adición es único es entonces la cuestión de si la estructura aditiva en un anillo es único dada su estructura multiplicativa, y no tenemos esta singularidad en general; es suficiente con considerar cualquier anillo de $R$ y cualquier monoid automorphism de $R$ que no respete la adición, a continuación, transferir la suma a lo largo de la automorphism.

Por ejemplo, supongamos $F$ ser cualquier campo y considerar el mapa de $\alpha : F \to F$ que envía a $0$ $0$e invierte todo lo demás. Este es un monoid automorphism, y para la mayoría de las $F$ este mapa no respecto de la adición (creo que el más pequeño ejemplo es $\mathbb{F}_5$). Para un campo de $F$ la operación $a \oplus b = \alpha^{-1}(\alpha(a) + \alpha(b))$ a continuación se da una alternativa, además de.

Answer 3

En forma lineal (= preadditive) categoría productos y coproductos coinciden (si las hubiere; véase la noción de un biproducto). En la categoría de grupos, $C_2 \times C_2$ es finito, pero $C_2 \sqcup C_2$ es infinito (por ejemplo desde el grupo diedro $D_n$ es un cociente de $C_2 \sqcup C_2$ cada $n$). Así, $\mathsf{Grp}$ no es lineal.

Answer 4

El conjunto $G:=\operatorname{Hom}(S_3,S_3)$ contiene

• el cero mapa de $x\mapsto 1$.
• tres mapas con $C_3$ como núcleo y uno de los tres 2-subgrupos de la imagen
• seis isomorphisms procedentes de permutaciones de $\{1,2,3\}$

Supongamos que tenemos una adición en $G$ que lo hace un grupo abelian y que distribuye más de la composición. Desde $|G|=10$, llegamos a la conclusión de que $G$ es cíclica, por lo tanto, tiene exactamente un elemento de orden $2$.

El cero mapa debe ser el elemento neutro de $G$. Si $\phi$ es cualquiera de los mapas con $\ker \phi=C_3$, $\phi\circ \psi=\phi$ si $\psi=0$. Por lo tanto, si $\phi$ orden $k(\ge2)$, nos encontramos con $$ 0=\phi\circ0=\phi\circ(k\phi)=\phi\circ((k-1)\phi)+\phi\circ\phi=\phi+\phi$$ y, por tanto, a la conclusión de que $\phi$ orden $2$. Por lo tanto $G$ tiene al menos tres elementos de orden $2$ - contradicción!