¿Por qué el generador de $U(1)$ es el operador número de partículas $N$?

Question

Cuando $U(1)$ simetría se rompe, el número de la partícula no se conserva más. Cuál es la relación entre número de u1 y de la partícula. ¿Por qué el generador de $U(1)$ es el operador número de partículas $N$?

Answer 1

El lagrangiano de un complejo campo escalar $\phi$ exhibe un global $U(1)$ simetría que da lugar a una conserva de corriente y carga, en virtud del teorema de Noether. El teorema nos dice que $$Q_{U(1)} = \int \text{d}^3 x\,j^0 = \int \text{d}^3 x \,\phi^{\dagger} \overset{\leftrightarrow}{\partial_0} \phi$$ is conserved. If we now rewrite $\phi$ in terms of its mode expansion and substitute this into the right hand side of the above, after some manipulation and normal ordering one arrives at $$Q_{U(1)} = \int \frac{\text{d}^3p}{(2\pi)^3} (a_p^{\dagger}a_p - b_p^{\dagger} b_p) = N_a - N_b,$$ which is identifiable with the number operator for the quanta created by $a_p^{\dagger}$ (dubbed particle) minus that for $b_p^{\dagger}$ (dubbed antiparticle). This tells us that the two species have similar quantum numbers but an opposite $Q_{U(1)}$ charge. To check that indeed $N_a$ is a number operator we can look at its action on an $n$ particle state, for example, and see that $$N_a |\mathbf p_1 \dots \mathbf p_n \rangle = n | \mathbf p_1 \dots \mathbf p_n \rangle$$ so that the eigenvalue of the operator $N_a$ en un estado en el Fock espacio de estados es el número de partículas.

Tenga en cuenta que es el $U(1)$ carga que es igual al número de partículas de menos el número de antipartículas (y no el $U(1)$ generador, el cual es simplemente la identidad del operador si la transformación global está escrito como $\phi \rightarrow e^{i \theta T} \phi$ donde $T \equiv 1$).

Todo esto se generaliza de forma directa en el caso de considerar un Dirac spinor $\Psi$, donde la conserva actual se asocia con quark número conservación como el cero de los componentes de $j^{\mu} = \bar \Psi \gamma^{\mu} \Psi$ hace claro.

Answer 2

Para un estado de la solo-partícula, una operación de rotación de $U(1)$ es simplemente multiplicar un factor de fase de la forma $e^{-i\theta}$. La misma operación en un estado de partícula $N$ $e^{-i\theta}$ para cada partícula multiplica y por lo tanto, $e^{-iN\theta}$ en la cuantía en cuestión.

Es fácil ver que el operador actuando sobre el espacio de Fock con la propiedad anterior es $e^{-i\hat{N}\theta}$, donde $\hat{N}$ es el operador de número. Por lo tanto, el generador de la rotación de $U(1)$ es el operador número.