Problema obteniendo a un marginal de la distribución conjunta

Question

Supongamos $X_1$ $X_2$ tiene el conjunto pdf

$$f_{X_1,X_2}\left(x_1,x_2 \right)=4x_1 x_2,\quad\text{for}\quad 0<x_1<1, 0<x_2<1$$

Desde que encontré la articulación pdf de $Y_1=\frac{X_1}{X_2}$ $Y_2=X_1 X_2$

$$f_{Y_1,Y_2} \left(y_1,y_2 \right)=2 \frac{y_2}{y_1}\quad \text{for}\quad \left(y_1,y_2 \right) \in \mathcal{T}$$

donde $\mathcal{T}=\{ \left(y_1,y_2 \right): y_1,y_2>0,y_2<\frac{1}{y_1},y_2<y_1 \}$

Es decir, en la $ \left(y_1, y_2 \right)$ plano, la zona de los pdf es delimitada por la línea de 45 grados y la hipérbola $\frac{1}{y_1}$. Basado en que puedo deducir con facilidad marginal de $Y_1$ para los dos casos

1. $0<y_1<1$

2. $1<y_1<\infty$

Pero, ¿qué acerca de la marginal de $Y_2$? $Y_1$ no está delimitado por encima y está delimitado por debajo de cero, ¿verdad? ¿Cómo puedo integrar a cabo $Y_1$ si la integral de 0 a infinito diverge? Lo que plantea la pregunta, ¿he hecho algo mal en la anterior?

Agradecería un poco de ayuda aquí, gracias.

Answer 1

Dibujos de las regiones de la integración.

La región donde $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1,$ $x_1 x_2 \le y$ ( $0 \le y \le 1$ ) se parece a la parte sombreada de

Los colores indican los diferentes valores de la densidad de $f(x_1,x_2)$, que van desde el azul (baja) a rojo (alto).

La integral de $f(x_1,x_2)dx_1 dx_2 = 4 x_1 x_2 dx_1 dx_2$ es fácil de encontrar mediante la integración por separado sobre el rectángulo a la izquierda de la línea punteada y la región, a su derecha, que está limitada por arriba por la curva de $x_1 x_2 = y$; lo que le da

$$\Pr(Y_2 \le y) = y^2-2 y^2 \log (y).$$

Aquí está una parcela de esta distribución: es la marginal de la CDF para $Y_2$.

Diferenciar esto para obtener el PDF de $Y_2$.

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La región donde $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1,$ $x_1 / x_2 \le y$ ( $0 \le y \lt \infty$ ) se parece a la parte sombreada de

La curva inferior es una parte de la línea de $x_2 = x_1 / y.$

Al $y \gt 1$ la integral de $4 x_1 x_2 dx_1 dx_2$ puede dividirse en los dos triángulos que se muestran; al $y \le 1$ sólo un triángulo superior aparece. La marginal de la CDF de $Y_1$ a

$$\Pr(Y_1 \le y) = y^2/2, \ 0 \lt y \le 1; \quad 1 - 1/(2y^2),\ y \ge 1.$$

Un parcial de esta trama de marginales CDF para $Y_1$ es

El total de la parcela se extiende infinitamente lejos a la derecha. Diferenciar esto para obtener el PDF de $Y_1$, la primera marginal.

Answer 2

Sólo para agregar la información visual, es fácil de encontrar que

$$F_X(x_i) = x_i^2$$ y ya para $U_i \sim U(0,1)$

$$F^{-1}(U_i) = X_i \Rightarrow X_i = \sqrt{U_i}$$

el $X's$ son las raíces cuadradas de los uniformes de la RV en $(0,1)$. También son independientes.Para simular dos uniformes, y, a continuación, llevar su producto. El resultado empírico de la frecuencia relativa de la curva es

Ahora toma el CDF de $Y_2 = X_1X_2$

$$F_{Y_2}(y_2) = y^2-2 y^2 \log (y) \Rightarrow f_{Y_2}(y_2) =-4y_2\ln y_2$$

Gráfico de esta función en (0,1) para obtener

Más matemáticamente, tenemos que $Y_2 = \sqrt {U_1U_2}$, es decir, la raíz cuadrada del producto de dos independientes de los uniformes de las caravanas. La densidad del producto de $n$ estándar uniforme independiente de la RV puede ser encontrado aquí. . Para $n=2$ es simplemente $$f_{U_1U_2}(u_1u_2) = -\ln(u_1u_2)$$

Para $Y_2 =\sqrt{ U_1U_2}$ nosotros de forma inmediata por el cambio de variable de la fórmula que $f_{Y_2}(y_2) =-4y_2\ln y_2$.