Teorema de diferenciación de Lebesgue para funciones continuas

Question

Si $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ es continua, ¿se cumple el teorema de diferenciación de Lebesgue en todos los puntos? Es decir, ¿se cumple $$\lim_{r\to0}\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}f(y) \, dy=f(x)$$ $\textit{everywhere}$ ?

Answer 1

Sí. Arregla $x\in\mathbb{R}^n$ et $\varepsilon>0$ y elija $\delta>0$ de manera que si $|x-y|<\delta$ entonces $|f(x)-f(y)|\leq\varepsilon$ . Si $0<r<\delta$ entonces $$\Big|\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}f(y)\;dy-f(x)\Big|\leq \frac{1}{B(x,r)}\int_{B(x,r)}|f(x)-f(y)|\;dy\leq\varepsilon$$ que muestra que $$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}f(y)\;dy=f(x)$$

Answer 2

Tenga en cuenta que cerca de $x$ $|f(x)-f(y)|\le f(x)+\epsilon(y)$ con $\epsilon(y)\to 0$ como $y\to x$ por definición de continuidad, en particular es una función acotada. Pero entonces tenemos

$${1\over\operatorname{vol}(B(x,r))}\left|\int_{B(x,r)}f(y)\,dy -\int_{B(x,r)}f(x)\right| \le {1\over\operatorname{vol}(B(x,r))} \left| \int_{B(x,r)}\epsilon(y)\,dy\right|$$

$$\le \sup_{y\in B(x,r)}\epsilon(y)\stackrel{y\to x}{\longrightarrow}0$$