Demostrar la existencia de un número real que satisface una propiedad

Question

Sea $x_1, x_2, . . , x_n$ números reales de $[0, 1]$ . [ ] $x \in [0, 1]$ para que $|x - x_1| + |x - x_2| + . . . + |x - x_n| =\frac n 2$

---

Mi intento

Sea $f:[0,1] \rightarrow R, f(x)=|x - x_1| + |x - x_2| + . . . + |x - x_n|$ . Porque $f$ continua, la imagen de $f$ es un intervalo. Para demostrar $\exists x \in [0,1]$ para que $f(x)=\frac n 2$ basta con encontrar dos valores $a,b \in [0,1]$ para que $f(a) \le \frac n 2 \le f(b)$ . No he encontrado estos valores.

También se apreciará una solución sin continuidad de funciones.

Answer 1

Tengo la respuesta. Deja que $a=\frac 1 2$ . Entonces $|a - x_i| \le \frac 1 2$ por lo tanto $f(a) \le \frac n 2$ .

Ahora, $f(0) = x_1 + x_2 + ... x_n$ y $f(1) = 1 - x_1 + 1 - x_2 + ... 1-x_n=n-f(0)$ . De ello se deduce que $f(0) + f(1) = n$ y, a partir de ahí, una de $f(0)$ o $f(1)$ es igual o superior a $\frac n 2$ .

Para concluir, puedo elegir $b = 0$ si $f(0) \ge \frac n 2$ o $b = 1$ si $f(1) \ge \frac n 2$