Paso en la prueba del cinco-lema.

Question

Consideremos el siguiente diagrama conmutativo, donde las filas son exactas: $$\require{AMScd} \begin{CD} M_1 @>f_1>> M_2 @>f_2>> M_3 @>f_3>> M_4 @>f_4>> M_5 \\ @Vh_1VV @Vh_2VV @Vh_3VV @Vh_4VV @Vh_5VV \\ N_1 @>g_1>> N_2 @>g_2>> N_3 @>g_3>> N_4 @>g_4>> N_5 \end{CD} $$

Todos los módulos y homomorfismos anteriores. Entonces el ejercicio me pide que compruebe tres cosas:

(a) Si $h_1$ es un epimorfismo y $h_4$ es un monomorfismo, entonces $\ker h_3 = f_2(\ker h_2)$ ;

(b) Si $h_2$ es un epimorfismo y $h_5$ es un monomorfismo, entonces $g_3^{-1}({\rm im}\,h_4) = {\rm im}\, h_3$ ;

(c) Si $h_1, h_2, h_4$ y $h_5$ son isomorfismos, también lo es $h_3$ .

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He conseguido resolver el punto (b), y suponiendo que el punto (a) también, he conseguido resolver el punto (c). Tengo problemas con el punto (a). La inclusión $\ker h_3 \supseteq f_2(\ker h_2)$ es fácil de comprobar.

Entonces toma $x \in \ker h_3$ . Así que $h_3(x) =0$ y $g_3(h_3(x)) = h_4(f_3(x)) = 0$ . De esto, $f_3(x)= 0$ y $x \in \ker f_3 = {\rm im}\,f_2$ Así que $x=f_2(y)$ para algunos $y$ . Si pudiera demostrar que $y\in \ker f_2$ yo habría terminado.

Lo que puedo ver es que $h_3(f_2(y)) = g_2(h_2(y)) =0$ Así que $h_2(y) \in \ker g_2 = {\rm im}\,g_1$ Así que $h_2(y)=g_1(z)$ para algunos $z$ . Pero $z=h_1(w)$ para algunos $w$ Así que $h_2(y) = g_1(h_1(w))=h_2(f_1(w))$ y desde aquí $y-f_1(w)\in \ker h_2$ . Pero no puedo probar que $f_1(w)\in\ker h_2$ para concluir el $y\in \ker h_2$ que quiero.

¿Ayuda?

Answer 1

En realidad no quieres $y \in \ker h_2$ .

Usted tiene $f_2(y - f_1(w)) = f_2(y) = x$ y $$h_2(y-f_1(w)) = h_2(y) - h_2(f_1(w)) = h_2(y) - g_1(h_1(w)) = h_2(y) -g_1(z) = 0.$$

Exactamente lo que necesitamos.