Pregunta sobre la demostración del teorema del índice que aparece en la Teoría de Morse de Milnor

Question

Estoy tratando de superar la prueba del teorema del índice.

Los antecedentes : He estado atascado durante bastante tiempo en el siguiente punto que Milnor dice que es evidente:
Dejemos que $\gamma: [0,1]\rightarrow M$ sea una geodésica en una variedad riemanniana. Sea $(t_0=0, t_1,…,t_k=1)$ sea una partición de $[0,1]$ para que $\gamma$ envía $[t_i, t_{i+1}]$ en un conjunto abierto U con la propiedad de que dos puntos cualesquiera de U pueden estar conectados por una geodésica que minimiza la distancia y que depende suavemente de los dos puntos extremos. Si $\tau$ está entre $t_j$ y $t_{j+1}$ entonces el espacio de campos de Jacobi "rotos" a lo largo de $\gamma|_{[0,\tau]}$ (es decir, los suaves a trozos $V$ que son campos de Jacobi a lo largo de cada trozo de la partición de $[0, \tau]$ ) que desaparecen en $t=0$ y $t=\tau$ es isomorfo como espacio vectorial real a la suma directa $T_{\gamma (t_1)}M\oplus...\oplus T_{\gamma (t_j)}M$ . Llama a esta última suma $\Sigma$ . Entonces el hessiano de la función de energía asociada a $\gamma|_{[0,\tau]}$ (llámalo $E_\tau$ ) puede verse como una forma bilineal en $\Sigma$ .

Mi pregunta: Quiero saber por qué esta forma bilineal debe variar continuamente con $(\tau, V, W) \in (t_j,t_{j+1})\times \Sigma \times \Sigma$ . Es decir, si $V_\tau$ y $W_\tau$ son los campos rotos de Jacobi a lo largo de $\gamma|_{[0,\tau]}$ asociado a $V, W\in \Sigma$ ¿Por qué? $(t_j,t_{j+1})\times \Sigma \times \Sigma \rightarrow \mathbb{R}, (\tau, V, W) \mapsto E_\tau (V_\tau , W_\tau )$ ¿constantemente?
Donde me golpea : A partir de la fórmula de la segunda variación parece que debería empezar por demostrar que $D_t(V_\tau|_{[t_j,\tau]} )|_{t_j}$ varía continuamente con $(\tau, V)$ . Sin embargo, tengo problemas para mostrar esto.

Answer 1

Después de dormir 12 horas : Esto parece una posible solución. Agradecería cualquier corroboración porque no esperaría que Milnor descartara algo como "evidente" si esta fuera la forma más fácil de demostrarlo:

Utilizando la fórmula de la segunda variación parece que el problema se reduce a lo siguiente: Sea $\gamma: [0,1]\rightarrow U$ sea una geodésica s.t. dos puntos cualesquiera en $U$ están conectadas por una geodésica minimizadora que depende suavemente de los puntos finales. Demuestre que $(0,1)\times T_{\gamma(0)}\rightarrow T_{\gamma(0)}, (\tau, V)\mapsto D_t(V_\tau)|_{t=0}$ es continua (donde $V_\tau$ es el único campo de Jacobi a lo largo de $\gamma$ con $V_\tau(0)= V, V_\tau(\tau)=0$ ).

$proof$ : Después de elegir un marco ortonormal paralelo a lo largo de $\gamma$ Los campos de Jacobi son sólo proyecciones de curvas integrales a un campo vectorial en $[0,1]\times \mathbb{R}^{2n}$ . Si $0<\tau_0<1$ entonces por el teorema de la EDO y la linealidad de la ecuación de Jacobi, existe $\epsilon>0$ tal que

$\Theta: (\tau_0-\epsilon,\tau_0+\epsilon)\times \mathbb{R}^{2n}\rightarrow (\tau_0-\epsilon,\tau_0+\epsilon)\times\mathbb{R}^{2n}$

$(\tau, V,W) \mapsto (\tau, X_{t=\tau}, D_t(X)|_{t=\tau})$

es un mapa suave. Donde $X$ es el único campo de Jacobi a lo largo de $\gamma$ con $X_{t=0}=V, D_t(X)|_{t=0}=W$ (Todos estos vectores son coordenadas respecto al marco paralelo). Ahora postcomponemos $\Theta$ con proyección sobre $X_{t=\tau}$ y llamar a esta composición $\theta$ . Entonces afirmo que el teorema de la función implícita se aplica para el vector cero en la imagen de $\theta$ . Específicamente para cualquier $V_0\in \mathbb{R}^n$ dejar $W_0$ tal que $\theta(\tau_0,V_0,W_0)=0$ (que tal vector $W_0$ existe un hecho sobre los campos de Jacobi a lo largo de geodésicas en conjuntos abiertos como $U$ ). Las hipótesis del teorema de la función implícita se cumplen porque $W\mapsto \theta(\tau_0, V_0, W)$ es un isomorfismo lineal. Así que obtenemos un mapa suave $(\tau_0-\delta, \tau_0+\delta)\times B(V_0, \delta)\rightarrow \mathbb{R}^n$ que da las (coordenadas del) único vector en $T_{\gamma(0)}M$ que es la derivada covariante del campo de Jacobi que desaparece en $\tau\in (\tau_0-\delta, \tau_0+\delta)$ y cuyo valor en $t=0$ es $V\in B(V_0, \delta)$ .