Estoy tratando de seguir una prueba de que si una sucesión es convergente, es necesariamente de Cauchy. Creo que entiendo la prueba, pero quiero estar seguro de que estoy redacción de la lógica correctamente. Por esa razón, esta prueba será un poco más prolijo de lo que suele escribir.
Teorema: Si una secuencia, $(s_n)$, es convergente es de Cauchy.
Prueba: Supongamos $(s_n)$ ser una secuencia convergente, y denotan $\lim s_n$$s$. De acuerdo con la definición de convergencia, \begin{align*} \forall \epsilon > 0, \exists N, \forall n > N, \left \lvert s_n - s \right \rvert < \epsilon. \end{align*} (Nota: he visto alternativo variantes de este, incluso con secuencias de funciones, entre los libros de texto y apuntes de clase, y no estoy seguro de si requerimos $N$ a ser un número natural. A mí me parece que esto no será necesario, ya que podríamos llevarlo a ser un tema complicado, no enteros, expresión que implique epsilon, y el $n > N$ componente de la secuencia de simplemente aplicar el techo de la función de a $N$. Agradecería si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre esto, así.)
Desde aquí, tome $\epsilon > 0$ a ser arbitraria. Desde $s_n$ converge, podemos tomar $\epsilon = \frac{\epsilon^*}{2}$, y elija $N$, de modo que $\forall n > N, \left \lvert s_n - s \right \rvert < \frac{\epsilon^*}{2}$. Se basa en la existencia de esta $N$, se puede elegir arbitrariamente $m, n > N$ tal que $\left \lvert s_m - s \right \rvert < \frac{\epsilon^*}{2}$$\left \lvert s_n - s \right \rvert < \frac{\epsilon^*}{2}$, por lo que esto es $\forall m, n > N$. Que $\left \lvert s_m - s \right \rvert < \frac{\epsilon^*}{2}$ también implica que $\left \lvert s - s_m \right \rvert < \frac{\epsilon^*}{2}$ mediante el aprovechamiento de las propiedades de valor absoluto (factorizando un $-1$, utilizando el hecho de que el valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos y, a continuación, concluyendo que $\left \lvert -1 \right \rvert$ es igual a la multiplicación de identidad, $1$.
A partir de aquí, obtenemos \begin{align*} \left \lvert s_n - s_m \right \rvert & = \left \lvert s_n + \left(s - s\right) - s_m \right \rvert & & \text{Add and subtract %#%#%} \\ & = \left \lvert \left(s_n - s\right) + \left(s - s_m\right) \right \rvert & & \text{Rearrange} \\ & \leq \left \lvert s_n - s \right \rvert + \left \lvert s - s_m \right \rvert & & \text{Triangle inequality} \\ & < \frac{\epsilon^*}{2} + \frac{\epsilon^*}{2} & & \text{Choice of %#%#%} \\ & = \epsilon^* \end{align*} Entonces, desde $s$, $N$, y $\epsilon$ fueron arbitrarias, tenemos \begin{align*} \forall \epsilon > 0, \exists N, \forall m, n > N, \left \lvert s_m - s_n \right \rvert < \epsilon. \end{align*}
Así que, aparte de si este es la prueba de sonido, mis preguntas son:
(1) Después de elegir el $m$ que garantiza una arbitrariamente pequeña diferencia absoluta para $n$, soy simplemente "elegir" $N$? Cómo, exactamente, se agrego una segunda variable en esto? ¿O la mera existencia de $n > N$, lo que garantiza un número infinito de términos de la secuencia, con la garantía de la existencia de una $n = m$?
(2) No $N$ necesita ser un número natural?
(3) Era la lógica detrás de la conclusión de que $m$ sonido?
Gracias de antemano.
