Independencia del camino implica que el grupo fundamental es abeliano

Question

una) demuestra que dos caminos $f,g$ $x$ $y$ dar lugar a la misma isomorfismo de $\pi(X,x)$ $\pi(X,y)$ (es decir, $u_f=u_g)$ si y sólo si $[g*\bar{f}] \in Z(\pi(X,x))$.

b) sea $u_f: \pi(X,x) \rightarrow \pi(X,y)$ isomorfismo determinada por una ruta de acceso $f$ $x$ $y$. Demuestra que $u_f$ es independiente del $f$ si y sólo si $\pi(X,x)$ es abeliano.

Llego a ser parte una) pero no parte b). Demostrar la dirección hacia atrás de la parte b) utilizando una). ¿Alguien puede dar algunos consejos sobre cómo demostrar la dirección hacia adelante?

Answer 1

Si es independiente del $u_f$ luego de cualquier ruta de acceso $f$ $g$ $x$ $y$ tenemos $u_f=u_g$ y así en la primera parte $[g\ast \overline{f}]\in Z(\pi_1(X,x))$. Ahora que $[\gamma],[\gamma']\in\pi_1(X,x)$ % de bucles $\gamma,\gamma'$en $x$. Recuerden que $[f\ast\overline{f}]=[c]$% #% Dónde está los lazos constantes en $c$ y así $x$ #% y $[\gamma]=[\gamma\ast f\ast\overline{f}]$ pero ahora nota que $[\gamma']=[\gamma'\ast f\ast\overline{f}]$ y $\gamma\ast f$ son caminos de $\gamma'\ast f$ $x$ y así mediante el uso de la primera parte obtenemos

$$\begin{array}{rcl}[\gamma][\gamma'] & = &[\gamma\ast f\ast\overline{f}][\gamma'\ast f\ast\overline{f}]\ &=&[(\gamma\ast f)\ast\overline{f}][(\gamma'\ast f)\ast\overline{f}]\ &=&[(\gamma'\ast f)\ast\overline{f}][(\gamma\ast f)\ast\overline{f}]\ &=&[\gamma'][\gamma]\end{matriz} $$

y así $y$ es abeliano.

Answer 2

Sea un bucle basado en $\gamma$ $x$ y supongo que modificar la ruta de acceso $f$, concatenando con el % de bucle $\gamma$para obtener una nueva ruta de acceso $g$. ¿Cómo lo isomorfismos $u_f$ y $u_g$ diferencia?