¿Cuál es el significado de una diferencial en términos de una diferencial exacta?

Question

Según tengo entendido una diferencial es un concepto anticuado de la época de Liebniz que se utilizaba para definir derivadas e integrales antes de que aparecieran los límites. Como tal $dy$ o $dx$ no tienen realmente ningún significado por sí mismos. He visto en múltiples sitios que la idea de pensar en una derivada como un cociente de dos cambios infinitesimales mientras se intuye es errónea. Lo entiendo, y además ni siquiera estoy muy seguro de que haya una forma rigurosa de decir cuándo una cantidad es infinitesimal.

Ahora bien, ha leído que se pueden definir estas diferenciales como cantidades reales que son aproximaciones en el cambio de una función. Por ejemplo para una función de una variable real la diferencial es la función $df$ de dos variables reales independientes $x$ y $x$ dado por:

$df(x,x)=f'(x)x$

Como esto se reduce a

$df = f'(x)dx$

y de nuevo lo que $dx$ significa que no entiendo. Me parece que es simplemente una aproximación lineal para la función en un punto $x$ . Sin embargo, no se menciona cuán grande o pequeña es la $dx$ debe ser, parece estar tan mal definido como antes y todavía he encontrado otros lugares que se refieren a él como un infinitesimal incluso cuando se ha redefinido como aquí.

De todos modos, ignorando esto, puedo ver cómo esto podría extenderse a funciones de más de una variable independiente

$y = f(x_1,....,x_n)$

$dy = $$ \frac{df}{dx_1}dx_1\\\frac{df}{dx_1} +\frac{df}{dx_n}{dx_n}{dx_n\f} .... +\frac{df}{dx_n}dx_n\\f

Sin embargo, a continuación se plantea la noción de diferenciales exactos e inexactos. Esto parece no tener relación, pero plantea la cuestión de qué significa un diferencial en este caso.

Todo esto viene de un curso que estoy haciendo de Física Térmica. ] 2

Si alguien puede aclararme qué significa el concepto de diferenciales o quizás dirigirme a algún libro o página web donde pueda estudiarlo por mi cuenta se lo agradecería mucho.

Una explicación del Teorema de Schwarz en este contexto también sería genial.

Answer 1

• Motivación

Si escribimos $y = f(x)$ y $f'(x)$ existe para un determinado $x$ entonces lo normal es escribir $\boxed{dy = f'(x) \ dx}$ . Si $x$ es un valor fijo, entonces $dy$ es una variable dependiente que depende de $dx$ como variable independiente.

• Intuición geométrica

Esencialmente, estamos introduciendo $dy$ y $dx$ como nuevos ejes de coordenadas que se encuentran (y forman su origen) en un punto que se encuentra en una curva $f(x)$ . En consecuencia, $dy$ y $dx$ actúan como escalas para la medición de las variables $dy$ y $dx$ , al igual que el $x$ y $y$ Los ejes actúan como escalas para la medición de $x$ y $y$ . En este sistema de coordenadas, se puede trazar la línea $dy = f'(x) \ dx$ -- es tangente a $y = f(x)$ (en algún punto fijo $x$ ) y tiene pendiente $f'(x)$ . La cuestión es que no lo estamos definiendo dentro de la $x$ - $y$ sistema de coordenadas explícitamente, sino que el $dx$ - $dy$ sistema de coordenadas que hemos construido.

Al verlo de esta manera, se simplifica esta noción a nada más que reconocer la pendiente de una línea, porque a partir de esto, se puede derivar la popular relación de cociente, $\displaystyle{\frac{dy}{dx} = f'(x)}$ para $dx \neq 0$ .

• Breve contexto histórico

El $d$ -notación que utilizamos para los diferenciales $dx$ y $dy$ se remonta a los trabajos de Leibniz en el siglo XVII, pero Leibniz nunca definió la derivada por el límite de un cociente.

• Más debates en profundidad

Definimos el diferencial de una función $f(x)$ en función de $x$ así como otra variable independiente $dx$ cuyo valor viene dado por $df = f'(x) \ dx$ . En efecto, este diferencial está definido en cada punto donde $f'(x)$ existe. Cabe destacar que $dx$ puede tomar cualquier valor. Para un valor fijo $x$ el valor del diferencial es sólo un múltiplo de $dx$ (ya que, para un $x$ , $f'(x)$ es una constante).

Replanteemos la diferenciabilidad de la siguiente manera: una función $f$ se llama diferenciable en $x$ si se define en una vecindad de $x$ (así como en $x$ mismo) y si existe algún $\alpha$ para que

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{|f(x + \Delta x) - f(x) - \alpha \Delta x|}{|\Delta x|} = 0$$

Esto puede reducirse a decir que

$$\lim_{\Delta x \to 0} \left|\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - \alpha \right| = 0$$

Es decir

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \alpha$$

Que sólo dice que $f'(x)$ existe y es finito con valor $\alpha$ . Sea el diferencial de $f$ se denota por $df(x, dx)$ . Es importante señalar que la dependencia de $df$ en $x$ no es lo mismo que su dependencia de $dx$ Así que tal vez la notación que he utilizado no sea del todo clara. Estamos observando que $df$ depende linealmente de $dx$ . Podemos hacer una reescritura:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{|f(x + \Delta x) - f(x) - \alpha \Delta x|}{|\Delta x|} = \lim_{dx \to 0} \frac{|f(x + dx) - f(x) - df(x, dx)|}{|dx|}$$

porque $\alpha \ dx = f'(x) \ dx = df(x, dx)$ (nótese que, por motivos de anotación, he sustituido $\Delta x$ con $dx$ ya que $dx$ puede tomar cualquier valor). Así, hemos aprendido que, para un $x$ , $df$ es un múltiplo de $dx$ y que la relación de límites que establecimos anteriormente es válida. Lo que la relación anterior nos dice es que $df(x, dx)$ es una aproximación decente a $f(x + dx) - f(x)$ en el sentido de que la diferencia $f(x + dx) - f(x)-df(x,dx)$ es muy pequeño en comparación con $|dx|$ como $|dx| \to 0$ .

Answer 2

Se puede pensar en los diferenciales (formas 1) como nuevas variables independientes. Si $y=f(x)$ entonces es conveniente colocar el origen de la $dx-dy$ en la curva dada por $y=f(x)$ . Las nuevas variables están relacionadas con $y$ y $x$ mediante la ecuación $dy = f'(x)\; dx$ . (Esta es la ecuación de la recta tangente en ese punto, pero dada en $dx-dy$ coordenadas). Al dejar $dx$ y $dy$ como variable, es posible dejar que $dx$ tomar el valor que quieras, por ejemplo, $\Delta x$ . Entonces el teorema de aproximación lineal dice que si $dx = \Delta x$ entonces $\Delta y \approx dy.$ Y eso lo podemos ver en la imagen descrita anteriormente. Esto se puede extender a las funciones de más de una variable.

Answer 3

El cálculo unidimensional es muy especial. Por ejemplo

• Si $f$ es cualquier función continua, entonces $f(x) \, \mathrm{d}x$ tiene una antiderivada
• Si $y$ y $u$ dependen de forma diferenciada de $x$ entonces $\mathrm{d}y$ y $\mathrm{d}u$ son proporcionales entre sí. Esto significa que tiene sentido hablar de la relación $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}$ (al menos donde $\mathrm{d}u$ es "no cero")
• Para hablar de integrales definidas $\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x$ requiere que sólo tengamos que especificar los puntos finales

En las dimensiones superiores, las cosas no funcionan tan bien; cuando hacer tienen estas bonitas propiedades, es algo especial que merece un nombre.

La exactitud es la propiedad de ser antidiferenciable:

Un diferencial $\omega$ es exactamente si y sólo si existe una función $f$ tal que $\omega = \mathrm{d}f$

Resulta que las formas exactas satisfacen el teorema fundamental del cálculo: si $\gamma$ es un camino desde $P$ a $Q$ entonces

$$ \int_\gamma \mathrm{d}f = f(Q) - f(P) $$

Así que espero que puedas ver que la exactitud es muy importante.

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Podemos definir un producto sobre diferenciales llamado producto de cuña se comporta más o menos como se espera que se comporte un producto, excepto que tiene la extraña característica de que es antisimétrico en las diferenciales ordinarias: $\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y = -\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x$ . (y también $\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}x = 0$ ).

W puede usar esto para diferenciar una forma diferencial: para obtener una 2 forma:

$$ \mathrm{d}\left( u \, \mathrm{d}v \right) = \mathrm{d}u \wedge \mathrm{d} v $$ y, además, a grados aún más altos.

Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$ podríamos calcular $$\begin{align} \mathrm{d}\left( f(x,y) \, \mathrm{d}x + g(x,y) \, \mathrm{d} y \right) &= \mathrm{d}f(x,y) \wedge \mathrm{d}x + \mathrm{d}g(x,y) \wedge \mathrm{d} y \\&= (f_1(x,y) \mathrm{d}x + f_2(x,y) \mathrm{d}y) \wedge \mathrm{d}x + (g_1(x,y) \mathrm{d}x + g_2(x,y) \mathrm{d}y) \wedge \mathrm{d}y \\&= (g_1(x,y) - f_2(x,y)) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \end{align}$$

(Yo uso $h_n$ para referirse a la derivada parcial de una función con respecto a su $n$ -(manteniendo constantes los demás argumentos)

Puede notar que la prueba que utiliza la regla de Schwarz a la que alude su imagen se reduce a comprobar si una diferencial $\omega$ satisface $\mathrm{d} \omega = 0$ . Estos también son especiales:

Una forma diferencial $\omega$ es cerrado si y sólo si $\mathrm{d} \omega = 0$

Resulta que toda forma diferencial exacta es cerrada, y a la inversa, en espacios extremadamente agradables como $\mathbb{R}^n$ toda forma diferencial cerrada es exacta.

Dado que comprobar si una forma es cerrada es relativamente fácil y computacional, proporciona un primer paso muy agradable para comprobar si una diferencial es exacta - y en espacios muy agradables como $\mathbb{R}^n$ ¡es el único paso que necesitas!