Identidad para integrales triples

Question

Encontré una identidad pero no he podido probarlo.

Se trata de la identidad

$\int { 0 }^{ x }{ \int { 0 }^{ y }{ \int { 0 }^{ z }{ f(t)dtdzdy\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \int { 0 }^{ x }{ (x-t)^{ 2 }f(t)dt } } } } $

Un profesor me dijo que el primer paso para lograr el resultado es a cambio $x$ $t$ y dibuje el sólido. No tengo idea cómo dibujar el sólido y qué hacer con eso. ¿Alguna idea?

Answer 1

Región $z\in[0,y]$ y $t\in[0,z]$ es una región triangular en el plano de $t$$z$delimitado por $t=0$, $z=y$ y $z=t$.

Cambiando el orden de integración podemos escribir

$$\int_0^y\int_0^zf(t)\,dt\,dz=\int_0^y \int_t^yf(t)\,dy\,dt=\int_0^y(y-t)f(t)\,dt$$

¿Puede usted continuar evaluando la integral $\int_0^x \int_0^y(y-t)f(t)\,dt\,dy$ cambiando el orden de integración de una manera análoga?