Aproximación a la función de Lambert W

Question

Si: $$x = y + \log (y) -a$$ Entonces la solución para $y$ usando la función Lambert W es: $$y(x) = W(e^{a+x})$$ En un artículo que estoy leyendo, vi una aproximación a esta solución, debido a "Borsch y Supan"(?): $$y(x) = W(e^{a+x}) \approx x \left (1 - \frac { \log x - a}{1+x} \right )$$

¿Alguna idea de cómo se derivó esta aproximación?

Answer 1

Podemos utilizar un procedimiento conocido como "bootstrapping" para determinar una aproximación para el Lambert $W$ función. Volvamos a su definición.

Para $x > 0$ la ecuación

$$ we^w = x $$

tiene exactamente una solución positiva $w = W(x)$ que aumenta con $x$ . Tenga en cuenta que $(w,x) = (1,e)$ es una de esas soluciones, por lo que si $x > e$ entonces $w > 1$ . Tomando los logaritmos de ambos lados de la ecuación obtenemos

$$ \log w + w = \log x $$

o

$$ w = \log x - \log w. \tag{1} $$

Cuando $x > e$ Por lo tanto, tenemos

$$ w = \log x - \log w < \log x. $$

En otras palabras, nuestra primera aproximación es que

$$ 1 < w < \log x \tag{2} $$

cuando $x > e$ . Entonces tenemos

$$ 0 < \log w < \log\log x, $$

y conectando esto a $(1)$ produce

$$ \log x - \log \log x < w < \log x, \tag{3} $$

donde el lado izquierdo es positivo para $x > 1$ . Tomando logaritmos como antes se obtiene

$$ \log\log x + \log\left(1 - \frac{\log\log x}{\log x}\right) < \log w < \log\log x, $$

y al sustituirlo por $(1)$ obtenemos

$$ \log x - \log\log x < w < \log x - \log\log x - \log\left(1 - \frac{\log\log x}{\log x}\right). $$

Desde $w = W(x)$ hemos demostrado que

$$ \log x - \log\log x < W(x) < \log x - \log\log x - \log\left(1 - \frac{\log\log x}{\log x}\right) \tag{4} $$ para $x > e$ .

En su caso particular nos interesa $W(e^{x+a})$ para lo cual tenemos

$$ x+a - \log(x+a) < W(e^{x+a}) < x+a - \log(x+a) - \log\left(1 - \frac{\log(x+a)}{x+a}\right) $$

para $x+a > 1$ . En este sentido tenemos

$$ W(e^{x+a}) \approx x+a - \log(x+a) = x\left(1 - \frac{\log(x+a) - a}{x}\right) \tag{5} $$

cuando $x+a$ es grande. Ahora aplicando la serie de Taylor un par de veces vemos que, para $x$ grande y $a \ll x$ ,

$$ \begin{align} \frac{\log x - a}{x+1} &= \frac{\log x - a}{x} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \\ &\approx \frac{\log x - a}{x} \left(1-\frac{1}{x}\right) \\ &= \frac{\log x - a}{x} - \frac{\log x - a}{x^2} \\ &= \frac{\log(x+a-a) - a}{x} - \frac{\log x - a}{x^2} \\ &= \frac{\log(x+a) + \log\left(1-\frac{a}{x+a}\right) - a}{x} - \frac{\log x - a}{x^2} \\ &= \frac{\log(x+a) - a}{x} + \frac{\log\left(1-\frac{a}{x+a}\right)}{x} - \frac{\log x - a}{x^2} \\ &\approx \frac{\log(x+a) - a}{x} - \frac{a}{x(x+a)} - \frac{\log x - a}{x^2} \\ &\approx \frac{\log(x+a) - a}{x}. \end{align} $$

Podemos entonces concluir de $(5)$ que

$$ W(e^{x+a}) \approx x \left(1 - \frac{\log x - a}{x+1}\right) $$

para $x$ grande y $a \ll x$ .

Answer 2

En primer lugar, consideremos $x=y+\log(y)$ .

Suponiendo que $y$ es grande, podemos suponer que $\log(y)$ es menor que $y$ . Por lo tanto, tomamos una primera estimación de $y=x$ y aplicar el método de Newton a $f(y)=y+\log(y)-x$ $$ \begin{align} y_{\text{next}} &=y-\frac{f(y)}{f'(y)}\\ &=x-\frac{x+\log(x)-x}{1+\frac1x}\\ &=x\left(1-\frac{\log(x)}{x+1}\right)\tag{1} \end{align} $$ Para $x\ge1$ es una aproximación decente para $\mathrm{W}(e^x)$ .

Ahora considere que $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{W}(e^x)=\frac{\mathrm{W}(e^x)}{\mathrm{W}(e^x)+1}\tag{2} $$ Así, para las pequeñas $a$ , $$ \begin{align} \mathrm{W}(e^{x{+}a}) &\approx\mathrm{W}(e^x)+a\frac{\mathrm{W}(e^x)}{\mathrm{W}(e^x)+1}\\ &=\mathrm{W}(e^x)\left(1+\frac{a}{\mathrm{W}(e^x)+1}\right)\\ &\approx\mathrm{W}(e^x)\left(1+\frac{a}{x+1}\right)\tag{3} \end{align} $$ Combinando las aproximaciones en $(1)$ y $(3)$ obtenemos $$ \mathrm{W}(e^{x{+}a})\approx x\left(1-\frac{\log(x)-a}{x+1}\right)\tag{4} $$