¿Cómo se calcula el número de piezas en el borde de un rompecabezas?

Question

¿Hay alguna forma de calcular cuántas piezas de borde tiene un rompecabezas, sin saber su relación ancho-alto? Supongo que ni siquiera es posible, pero estoy tratando de estar seguro de ello.

¡Gracias por tu ayuda!

Por cierto, tal vez quieras saber que el puzle tiene 3.000 piezas.

Answer 1

Obviamente, $w\cdot h=3000$ y hay $2w+h-2+h-2=2w+2h-4$ en la frontera. Desde $3000=2^3\cdot 3\cdot 5^3$ las posibilidades son \begin (w,h)& \in &\{(1,3000),(2,1500),(3,1000),(4,750),(5,600),(6,500), \\ && \hphantom {\{}(8,375),(10,300),(12,250),(15,200),(20,150),(24,125) \\ && \hphantom {\{}(25,120),(30,100),(40,75),(50,60),(h,w)\}, \end {eqnarray}

Considerando esto, su rompecabezas es probablemente $50\cdot60$ (Nunca he visto un rompecabezas con $h/w$ o $w/h$ relación más que $1/2$ ), así que hay $216$ piezas de borde. Esto es sólo $\frac{216\cdot100\%}{3000}=7.2\%$ de las piezas del rompecabezas, lo que se ajusta a los estándares.

Answer 2

Supongamos que el rompecabezas es un rectángulo de $a\times b\ $ cm $^2$ y las piezas pueden ser idealizadas como rectángulos de $c\times d\ $ cm $^2$ . Luego $m={a\over c}$ piezas bordean a lo largo de un $a$ -y $n={b\over d}$ piezas a lo largo de un $b$ - lado. Nos ha dicho que $m\cdot n=3000$ y quieres saber el número $N:=2m+2n-4$ . No tenemos suficiente información para determinar $N$ . Por la desigualdad de la AGM uno tiene ${m+n\over 2}\geq \sqrt{mn}$ . Esto implica la estimación $N\geq216$ .

Answer 3

Admitiendo que es una cuadrícula regular de 3000 piezas, ni más ni menos, no hay tantas posibilidades para el tamaño de los bordes, ya que deben ser un divisor de 3000 .

Sin embargo, aunque no sepas la proporción, normalmente es seguro asumir que está entre 1:1 y 2:1, ya que la mayoría de los rompecabezas son rectángulos bonitos (usando una noción muy no matemática de bonito, con lo que quiero decir, la mayoría de los cuadros, pinturas, hojas de papel, pantallas, etc...).

Esto nos deja con las siguientes posibilidades:

• 50x60 -> 2x48 + 2x58 = 212 piezas de borde y 4 esquinas
• 40x75 -> 2x38 + 2x74 = 224 piezas de borde y 4 esquinas
• 30x100 ya está lejos de una proporción de 2:1, pero daría 2x28 + 2x98 = 252 piezas de borde y 4 esquinas.

Answer 4

Piensa en esto como un cuadrado perfecto. Por ejemplo, digamos que el rompecabezas es de 100 piezas, es decir, una cuadrícula de 10X10, por lo que ese rompecabezas tendría 40 piezas de tablero aproximadamente. No hay manera de calcular exactamente la anchura y la altura. Por lo tanto, utilizando una cuadrícula de 300X300 que equivale a 3000 piezas, la mejor respuesta es aproximadamente 1200 para los cuatro lados del tablero. Si quieres una respuesta realista, simplemente busca en Google algunos rompecabezas de 3000 piezas y encuentra muchos similares y luego obtén tu mejor respuesta.

Answer 5

Podrías aplicar el El método de Monte Carlo . Escoge una pieza al azar (es decir, con una distribución uniforme) y anota si es una pieza de borde o no. Repita hasta que la proporción $$k = \frac{\# \text{noticed border pieces}}{\#\text{total}}$$ converge (hasta la precisión deseada). Luego $3000 \cdot k$ será su respuesta (o en general $nk$ para $n$ -(un rompecabezas de piezas).

¡Buena suerte! ;-)