Un espacio pseudocompact con $G_\delta$ punto de

Question

¿Es evert $T2$ pseudocompact espacio con $G\delta$-puntos siempre primero contable? ¿Existe un contraejemplo?

Gracias por delante.

Answer 1

Recuerdo que un espacio de $X$ se llama pseudocompact en nuestro matemática de la escuela o débilmente compacto, por ejemplo, en Mikhail Tkachenko de la escuela cada localmente finito de la familia de vacío abierto subconjuntos del espacio $X$ es finito.

Ayer me han planteado esta cuestión en el divertimento, en nuestro seminario "Topología Y Aplicaciones" y luego, mi amigo Oleg Gutik y me respondió.

Construimos un ejemplo como el siguiente. Deje $X_0$ ser un no vacía $T_1$ espacio. Determinar una topología en el set $X=(X_0\times\omega)\cup\{y_0\}$ donde $y_0\not\in X_0\times\omega$ por la base de los siguientes $\mathcal B=\{U\times \{n\}: U$ es un subconjunto abierto del espacio $X_0, n\in\omega \}\cup \{\{y_0\}\cup\bigcup_{m\ge n}X_0\setminus F_m: n\in\omega$, $F_m$ is a finite subset of the space $X_0$ for each $m\in\omega$ such that $m\ge n$}.

Es fácil de comprobar lo siguiente:

• el espacio de $X$ es Hausdorff proporcionan el espacio de $X_0$ es Hausdorff;

• el espacio de $X$ es pseudocompact proporcionan el espacio de $X_0$ es un pseudocompact espacio sin aislado puntos;

• cada punto del espacio $X$$G_\delta$, siempre que cada punto del espacio $X_0$$G_\delta$;

• el punto de $y_0$ tiene innumerables carácter proporcionado el espacio $X_0$ es infinito.

Así que en esta construcción, los rendimientos de la respuesta negativa a la pregunta si tomamos la unidad de segmento como $X_0$.