Cuáles son los generadores para $SL_n(\mathbb{R})$ (Michael Artin ' libro de Algebra de s)

Question

El libro te pide demostrar que $SL_n(\mathbb{R})$ es generado por elemental (fila operación) de matrices en las que uno distinto de cero fuera de la diagonal de la entrada se agrega a la matriz identidad. Por ejemplo,

$$\begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

los actos por la izquierda de la multiplicación en $2\times2$ matrices mediante la adición de $a$ veces (fila 2) a (fila 1). Considerando un ejemplo sencillo:

$$M= \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1/a \end{bmatrix}, \neq 0$$

se puede ver que la matriz de $M$ pertenece a $SL_n(\mathbb{R})$. Sin embargo, en la escuela elemental de las matrices de componer $M$ son del siguiente tipo y no del primer tipo (distinto de cero fuera de la diagonal de la entrada).

$$\begin{bmatrix} c & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ es decir, uno distinto de cero en la diagonal de entrada que se agregan a la matriz de identidad. Así $$M = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/a \end{bmatrix}$$

Por lo $M$ claramente no es generado por el primer tipo. Lo que va mal?

Answer 1

El punto es, usted puede hacer sin el uso de operaciones elementales con sus filas de la forma $R_i\leftarrow \lambda R_i$. Dada una matriz $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ de manera tal que su primera columna es distinto de cero, siempre podemos reducir su primera columna de a $(1,0)^T$ primaria fila de las operaciones de la forma $R_i\leftarrow R_i+kR_j$. De hecho, vamos a $k$ ser un escalar tal que $ka+c\neq0$. Entonces $$\begin{pmatrix}1&0\\-(ka+c)&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&\frac{1-a}{ka+c}\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&\ast\\0&\ast\end{pmatrix}.$$ La primera escuela primaria de la fila de la operación (es decir, a la derecha) se modifica el $(2,1)$-ésima un valor distinto de cero; la segunda hace que el $(1,1)$-ésima se convierte en $1$ y la tercera (la izquierda) mata a la $(2,1)$-ésima.

Por su ejemplo, podemos poner de $k=1$ y obtener $$\begin{pmatrix}1&0\\-a&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&\frac{1-a}{a}\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&0\\0&\frac1a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&\frac{1-a}{a^2}\\0&1\end{pmatrix}.$$ Por lo tanto $$\begin{align*} \begin{pmatrix}a&0\\0&\frac1a\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}1&\frac{1-a}{a}\\0&1\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}1&0\\-a&1\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}1&\frac{1-a}{a^2}\\0&1\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&\frac{a-1}{a}\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&\frac{1-a}{a^2}\\0&1\end{pmatrix}. \end{align*}$$

Answer 2

En el caso de $SL_2(\Bbb R)$, vamos a $L(a) = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$R(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix}$.

Desde $L(a)L(b) = L(a+b)$$R(a)R(b) = R(a+b)$, usted necesita encontrar una manera de escribir $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1/a \end{pmatrix}$ como algunos finito composición $L(a_1)R(a_2)L(a_3)\ldots$,$a_i \neq 0$.

Es claro que no de la forma $L(a_1)$.
Ni de la forma $L(a_1)R(a_2) = \begin{pmatrix} 1 + a_1a_2 & a_1 \\ a_2 & 1 \end{pmatrix}$.
Ni de la forma $L(a_1)R(a_2)L(a_3) = \begin{pmatrix} 1 + a_1a_2 & a_1+a_3+a_1a_2a_3 \\ a_2 & 1+a_2a_3 \end{pmatrix}$.
$L(a_1)R(a_2)L(a_3)R(a_4) = \begin{pmatrix} 1 + a_1a_2+a_1a_4+a_3a_4+a_1a_2a_3a_4 & a_1+a_3+a_1a_2a_3 \\ a_2 +a_4+a_2a_3a_4 & 1+a_2a_3 \end{pmatrix}$.

Si esta es una matriz diagonal, entonces necesitamos $a_2+a_4+a_2a_3a_4 = a_1+a_3+a_1a_2a_3 = 0$, y, a continuación, $L(a_1)R(a_2)L(a_3)R(a_4) = \begin{pmatrix} 1 + a_3a_4 & 0 \\ 0 & 1+a_2a_3 \end{pmatrix}$.

Así, tenemos que escoger $a_1 = -a_3/(1+a_2a_3) = -a_3a$, $a_2 = -a_4/(1+a_3a_4) = -a_4/a$. Entonces, nos quedamos a recoger $a_3$ $a_4$ tal que $a_3a_4 = a-1$.

Pick $a_4=1$. A continuación,$a_3 = a-1, a_2 = -1/a, a_1 = (1-a)/(1+(-1/a)(a-1)) = a(1-a)$. Y se puede comprobar que el $L(a-a^2)R(-1/a)L(a-1)R(1) = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1/a \end{pmatrix}$