Para Hausdoff espacios, la respuesta es sí, $X$ es simplemente conectado. La respuesta aquí utiliza algunos teoría del continuo. La clave es el aviso de que $X$ es únicamente arcwise conectado.
Primer aviso de que no se puede incrustar $S^1$ a $X$ porque de su propiedad requerida. Esto significa que $X$ no contiene curvas cerradas simples (homeomórficos imágenes de $S^1$). Es bien conocido que un espacio de Hausdorff $X$ es únicamente arcwise conectado si y sólo si no contiene una curva cerrada simple (este podría ser un ejercicio en un continuum, el libro de la teoría, por ejemplo, Nadler del libro). Por lo $X$ debe ser única arcwise conectado.
Ahora vamos a $\alpha:(S^1,p)\to (X,x)$ ser un bucle basado en $p$. La imagen de $S^1$ en un espacio de Hausdorff es un continuo de Peano (una ruta conectada localmente ruta de acceso conectado, compacto espacio métrico). Por otra parte $\alpha(S^1)$ debe ser única arcwise conectado, ya que es una ruta conectada subespacio de una única arcwise conectado espacio. Pero de cualquier forma exclusiva arcwise conectado Peano continuo es una dendrita y todas las dendritas son contráctiles. Desde $\alpha$ factores a través de un contráctiles en el espacio, es nulo homotópica.
Para los no-espacios de Hausdorff, ruta de acceso conectado aun no implica arcwise conectado por lo que el resultado podría ser potencialmente falsa.
