$\forall m,n \in \Bbb N$ : $\ 56786730\mid mn(m^{60}-n^{60})$

Question

Cómo probar : $\forall m,n \in \Bbb N$ : $$56786730\mid mn(m^{60}-n^{60})$$

mi esfuerzo:

$56786730=2.3.5.7.11.13.1841$ -Es $1841$ ¿Primero?

debemos ser probados: $2|m n(m^{60}-n^{60})$ ,..., $13|mn(m^{60}-n^{60})$ ¿pero cómo?

utilizando el teorema de Fermat tenemos que si $\gcd(m,i)=1 , \gcd(n,i)=1 , (n)m^{i-1} \equiv 1 \pmod i, i=2,3,5,7,11,13$ así que $2|mn(m^{60}-n^{60})$ ,..., $13|mn(m^{60}-n^{60})$ porque $i|0, i=2,3,5,7,11,13$ y $1,2,4,6,10,12 $ dividir $60$

para otro valor de $m,n$ ? y la factorización de $1841?

Answer 1

Sugerencia $\ $ Aplicar el pequeño Fermat, notando que $\rm\displaystyle\ 56786730\ = \!\!\prod_{\begin{array}\rm p\ prime\\ \rm p-1\mid\, 60\end{array}}\! p$

Answer 2

Existen 2 casos:

I) $\gcd(i,m)=\gcd(n,i)=1 $ que la prueba se completa atendiendo a la explicación de la pregunta.

II) si uno de ellos como ejemplo $\gcd(i,m) \not = 1$ entonces $\gcd(m,i)=i, i$ es primo entonces la prueba se completa atendiendo a $i|i\ldots$