Demostrar que la matriz bloque dado es positivo semi-definido

Question

¿Cómo puedo mostrar $M = \begin{bmatrix} A & B \\ B^T & C \end{bmatrix} \succeq 0$ i.e. $M$ is positive semi-definite (PSD) given that $$ is PSD and for some $\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_p), \lambda_i \in [0,1]$ $$ B = B_1 (I-\Lambda) + B_2 \Lambda\\ C = (I-\Lambda)C_1(I-\Lambda) + (I-\Lambda)C_2\Lambda + \Lambda C_2^T (I-\Lambda) + \Lambda C_3 \Lambda, $$ donde $B_1, B_2, C_1, C_2, C_3$ son todos los PSD. Yo sé sobre el complemento de Schur, pero no estoy seguro de cómo tomar el inverso de a $C$. ¿Hay alguna otra manera puedo enfoque para resolver este problema?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

¿No es tan obvio? A menos que $B=0$ o $B,C$ corresponden a $A$ de alguna manera, nunca podrías comprobar que $M$ es necesariamente PSD, ya que no es.

Cuando $B\ne0$, ya que ni $B$ ni $C$ dependen de $A$, si $C$ es PSD, cuando $A$ enfoques cero, $M$ eventualmente se convertirá en indefinida; Si $C$ no es PSD, entonces $M$ no es PSD en primer lugar.

Answer 2

Considerar $K=\left(\begin{matrix} A & 0 & B_2 C_1 & B_1\ 0 & \Lambda C_3 \Lambda & (I-\Lambda)C_2 C_1 & \Lambda\ C_1^TB_2^T & C_1^TC_2^T(I-\Lambda) & -C_1^{-1} & 0\ B_1^T & \Lambda & 0 & -I\end{matrix}\right). $

Luego $M \approx K/L$ is Schur complement of $K$ w/respect to the right lower block $L$.