Cómo probar la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt n}\tan\left(\dfrac{1}{n}\right)?$

Question

Cómo probar la convergencia de $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt n}\tan\left(\dfrac{1}{n}\right)?$ $ soy despistado.

Answer 1

Para la convergencia, $\tan{(1/n)} \sim 1/n$ $n \rightarrow \infty$. Por lo tanto, la suma converge por la prueba de comparación con

$$\sum_{n-1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$$

Answer 2

Tenemos %#% $ #% donde $$\sum _ {n \ =1}^{\infty}a_n$ elegir un $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \tan {\frac{1}{n}}$ que $n_0$ $ también nota de $$ \cos (\frac{1}{n})> \frac{1}{2}\, \mathrm{for\,\,}n \geq n_0$ por lo tanto obtenemos $ \sin x \leq x \mathrm{for \, \,} x>0$ $ $$\sin \frac{1}{n}n_0$ y desde $a_n \leq 2 \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ converge y desde $\sum \frac{2}{n^{\frac{3}{2}}}$ concluimos que converge la serie $a_n \geq 0$.