Prueba sencilla de que las cadenas estacionarias de nacimiento y muerte son reversibles

Question

Una cadena de Markov con espacio de estados $\mathbb{Z}$ es un cadena nacimiento-muerte si las probabilidades de transición satisfacen $p(x,y) = 0$ para $|x-y| > 1$ . Es decir, las únicas transiciones posibles son mover un estado a la izquierda o a la derecha o quedarse quieto.

Supongamos que dicha cadena tiene una distribución estacionaria $\pi$ . Es entonces un hecho "conocido" que $\pi$ satisface el ecuación de balance detallada $$\pi(x) p(x, y) = \pi(y) p(y,x), \quad x,y \in \mathbb{Z}.$$ Es decir, la cadena es reversible .

Estoy buscando una prueba sencilla de este hecho (para una clase que estoy dando). Las únicas pruebas que he encontrado pasan por El criterio de Kolmogorov para la reversibilidad que parece un montón de trabajo. Si es posible, la prueba debería dar alguna idea de por qué la estructura particular de una cadena de nacimiento-muerte hace que la reversibilidad se mantenga.

Gracias.

Answer 1

Dibuja una barrera permeable entre los estados $x$ y $y$ dividiendo la línea numérica en dos partes. Como su cadena de Markov es una cadena de nacimiento-muerte, el único paso a través de esta barrera es la transición que conecta $x$ y $y$ . El LHS de su igualdad es la probabilidad de que una partícula, en un momento dado, se mueva de $x$ a $y$ es decir, la probabilidad de que atraviese la barrera en una dirección. El lado derecho de su igualdad es la probabilidad de que una partícula, en un momento dado, se mueva de $y$ a $x$ es decir, la probabilidad de que atraviese la barrera en sentido contrario.

Desde $\pi$ es estacionario, el flujo total a través de la barrera debe ser $0$ - es decir, el LHS y el RHS deben ser iguales, ¡como se desea!

Answer 2

La respuesta de Lopsy tiene la idea correcta, creo. Así es como resolví los detalles.

Si $x$ y $y$ no son adyacentes, entonces la ecuación de equilibrio detallada es trivial. Si lo son, por ejemplo $y = x+1$ , dejemos que $L = \{z : z \le x\}$ sea el conjunto de estados del lado izquierdo. La clave, como dice Lopsy, es que la única ruta de entrada o salida de $L$ es a través de la transición entre $x$ y $y$ .

Considere $P_\pi(X_1 \in L)$ . Por un lado, ya que $\pi$ es estacionario, $P_\pi(X_1 \in L) = P_\pi(X_0 \in L)$ . Por otro lado, podemos dividir el evento $\{X_1 \in L\}$ y escribir $$\begin{align} P_\pi(X_1 \in L) &= P_\pi(X_1 \in L, X_0 \in L) + P_\pi(X_1 \in L, X_0 \notin L) \\\\ &= P_\pi(X_0 \in L) - P_\pi(X_1 \notin L, X_0 \in L) + P_\pi(X_1 \in L, X_0 \notin L).\end{align}$$ Así, $P_\pi(X_1 \notin L, X_0 \in L) = P_\pi(X_1 \in L, X_0 \notin L)$ que es la declaración de "flujo total" de Lopsy. Sin embargo, $P_\pi(X_1 \notin L, X_0 \in L) = P_\pi(X_1 = y, X_0 = x) = \pi(x) p(x,y)$ , y del mismo modo el otro lado es $\pi(y) p(y,x)$ .

Esto también deja claro que la característica esencial de una cadena de nacimiento-muerte es que está "simplemente conectada".