He visto que se puede cubrir una esfera con 6 parametrizaciones, pero ¿es posible cubrir totalmente una esfera con menos parametrizaciones/características?
Lo mínimo que se puede hacer son 2 parametrizaciones. Una forma de hacerlo es mediante el proyección estereográfica en el que se elimina un polo de la esfera y se proyecta el resto de la esfera al plano. Luego se hace lo mismo eliminando el polo opuesto.
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El número de gráficos necesarios para una esfera a la que se le ha quitado alguna parte convexa es sólo $1$ . con la esfera de Riemann, se puede ver que basta con quitar un punto para que la esfera se convierta en homomorfa a un plano
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Una pregunta: ¿qué pasa con la hiperesfera en dimensión $3,4,5,\ldots$ y el hipertoro (no sé la respuesta)
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@user1952009 La hiperesfera $S^n$ también se puede cubrir con dos mapas, ya que al igual que $S^2$ eliminando un solo punto se obtiene un espacio homeomorfo a $\Bbb R^n$ . La proyección estereográfica se generaliza fácilmente a $n$ dimensiones aquí.
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@user1952009 En cuanto a un toroide (representado como un $n$ -cubo con lados opuestos identificados), se necesita un mínimo $3$ mapas para $T^2$ ya que la superficie descubierta que queda después de un mapa es homotópica a un ramillete de 2 círculos, que no pueden ser mapeados en $\Bbb R^2$ sin cambiar el orden de las líneas que llegan al vértice común. Es difícil de explicar la geometría y más difícil de afirmar con rigor, pero apostaría buen dinero a que se necesita $n+1$ mapas para cubrir $T^n$ .