Sean N parejas sentadas al azar en una mesa rectangular, los hombres en un lado y las mujeres en el otro. Sea X la variable aleatoria que describe el número de parejas que acaban sentadas frente a frente. ¿Cuál es la varianza de X?
He descubierto este problema en mi libro y he encontrado lo siguiente:
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Los asientos no son independientes.
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el $E(X)$ es 1 si se utilizan variables indicadoras, es decir, si $I_k$ es la variable indicadora que es 1 si la pareja k está sentada enfrente y 0 en caso contrario. así que $X=\sum_{k=1}^n I_k$ y el $E(X)$ se calcula que es 1.
Creo que hasta ahora estoy en lo cierto, sin embargo, estoy atascado aquí. Dado que el cada $E_k$ no es totalmente independiente, he probado a utilizar $Var(X)= E(X^2) - (E(X))^2 = E(X^2) - 1$
Así que necesito $E(X^2)$ que es una suma doble. No sé si esto se puede resolver o si falta algún término. Se agradecería cualquier orientación.
Edición: De acuerdo, también sé que $ p(I_k)=1/n $ y por la misma razón $p(I_k*I_j)= 1/(n^2-n)$ . Así que estoy asumiendo que me falta algún término porque cada k no es independiente. Probaré la otra definición de varianza, pero estoy casi seguro (frustrantemente) de que me falta algo.