Variedad de parejas sentadas frente a frente en una mesa rectangular.

Question

Sean N parejas sentadas al azar en una mesa rectangular, los hombres en un lado y las mujeres en el otro. Sea X la variable aleatoria que describe el número de parejas que acaban sentadas frente a frente. ¿Cuál es la varianza de X?

He descubierto este problema en mi libro y he encontrado lo siguiente:

1. Los asientos no son independientes.

2. el $E(X)$ es 1 si se utilizan variables indicadoras, es decir, si $I_k$ es la variable indicadora que es 1 si la pareja k está sentada enfrente y 0 en caso contrario. así que $X=\sum_{k=1}^n I_k$ y el $E(X)$ se calcula que es 1.

Creo que hasta ahora estoy en lo cierto, sin embargo, estoy atascado aquí. Dado que el cada $E_k$ no es totalmente independiente, he probado a utilizar $Var(X)= E(X^2) - (E(X))^2 = E(X^2) - 1$

Así que necesito $E(X^2)$ que es una suma doble. No sé si esto se puede resolver o si falta algún término. Se agradecería cualquier orientación.

Edición: De acuerdo, también sé que $ p(I_k)=1/n $ y por la misma razón $p(I_k*I_j)= 1/(n^2-n)$ . Así que estoy asumiendo que me falta algún término porque cada k no es independiente. Probaré la otra definición de varianza, pero estoy casi seguro (frustrantemente) de que me falta algo.

Answer 1

Su trabajo hasta ahora es perfecto. Ahora necesitas

\begin {align} \mathbb E \left (X^2 \right )&= \mathbb E \left ( \left ( \sum_ {k=1}^nI_k \right )^2 \right ) \\ &= \mathbb E \left ( \sum_ {k=1}^nI_k^2+ \sum_ {j \ne k}I_jI_k \right ) \\ &= \mathbb E \left ( \sum_ {k=1}^nI_k \right )+ \mathbb E \left ( \sum_ {j \ne k}I_jI_k \right ) \\ &=1+n(n-1) \mathbb E(I_1I_2)\N-;. \end {align}

Fijación de parejas $1$ y $2$ deja $(n-2)!$ de $n!$ arreglos, por lo que $\mathbb E(I_1I_2)=\frac1{n(n-1)}$ y por lo tanto

$$ \mathbb E\left(X^2\right)=1+n(n-1)\frac1{n(n-1)}=2\;. $$

Answer 2

Esquema: Funcionarán las variables aleatorias indicadoras. Basta con calcular $E(X^2)$ que es $E((I_1+I_2+\cdots +I_n)^2)$ . Expandir el cuadrado. Obtenemos $\sum I_k^2$ más una suma de términos "mixtos".

Desde $I_k^2=I_k$ Ya has calculado $E(\sum I_k^2)$ .

Queda por encontrar $E(I_iI_j)$ donde $i\ne j$ . La probabilidad de que $I_i=1$ es $\frac{1}{n}$ . Dado que $I_i=1$ la probabilidad de que $I_j=1$ es $\frac{1}{n-1}$ . Así, $E(I_iI_j)=\frac{1}{n(n-1)}$ (si $n\gt 1$ ).

Para la expectativa de la suma de productos de términos mixtos, multiplique por $n(n-1)$ . Ahora queda unir las piezas.

Answer 3

Deje que el RV $X$ sea el número de puntos fijos de una permutación aleatoria. Obsérvese que la especie de permutaciones con puntos fijos marcados es

$$\mathfrak{P}(\mathcal{U}\mathfrak{C}_{=1}(\mathcal{Z}) + \mathfrak{C}_{=2}(\mathcal{Z}) + \mathfrak{C}_{=3}(\mathcal{Z}) + \mathfrak{C}_{=4}(\mathcal{Z}) + \cdots).$$

Esto da la función generadora $$G(z, u) = \exp\left(uz + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + \frac{z^4}{4} + \frac{z^5}{5} + \cdots\right)$$

que es $$G(z, u) = \exp\left((u-1)z + \log\frac{1}{1-z}\right) = \frac{\exp((u-1)z)}{1-z} = \exp(uz) \frac{\exp(-z)}{1-z}.$$

Como se trata de un EGF obtenemos el OGF de $\mathrm{E}(X)$ $$\left.\frac{\partial}{\partial u} G(z, u)\right|_{u=1} = z \exp(z) \frac{\exp(-z)}{1-z} = z \frac{1}{1-z}.$$

Por lo tanto, $$\mathrm{E}(X) = 1.$$

Del mismo modo, obtenemos la OGF de $\mathrm{E}(X(X-1))$ $$\left.\frac{\partial}{\partial u}\frac{\partial}{\partial u} G(z, u)\right|_{u=1} = z^2 \exp(z) \frac{\exp(-z)}{1-z} = z^2 \frac{1}{1-z}.$$

Por lo tanto, cuando $n\ge 2$ $$\mathrm{E}(X(X-1)) = 1.$$

Esto da como resultado

$$\mathrm{Var}(X) = \mathrm{E}(X(X-1)) + \mathrm{E}(X) - \mathrm{E}(X)^2 = 1 + 1 - 1 = 1.$$