Lo que usted llama el "índice" de un primer $P$ es, en el contexto de los campos de número, generalmente se llama la norma.
Si $F/\mathbf{Q}$ es un campo de número de grado $n$, y el primer $2$ se divide completamente en $F$, entonces no será exactamente $n$ primos de norma $2$ en el anillo de enteros $\mathcal{O}_F$.
Hay varias maneras de generar el número de campos en los que $2$ se divide por completo. Un método consiste en tomar el polinomio $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \ldots (x-n)$ y la deforman $2$-adically. Por Krasner del lexema, $2$ va a dividir completamente en cualquier extensión. Si quieres ser muy explícitos y escribir un polinomio irreducible tal que $2$ se divide por completo, usted puede tomar
$$(x-3)(x-6)(x-9) \ldots (x-3n) + 3 \cdot 2^{k}$$
para algunos $k \gg 1$. Aquí $k$ puede ser cualquier número entero suficientemente grande que Hensel del lema obras.
Una alternativa, tomar el cyclotomic campo $K = \mathbf{Q}(\zeta_N)$, tiene un grupo de Galois $G = (\mathbf{Z}/N \mathbf{Z})^{\times}$. Deje $H = \langle 2 \rangle \subset G$, y deje $F$ ser el campo fijo de $H$. A continuación, $F/\mathbf{Q}$ es de Galois con grupo de Galois $G/H$, e $2$ dividirá por completo. Si uno toma $N$ a ser divisible por, al menos, dos primos $\equiv 1 \mod n$, entonces (debido a $H$ es cíclico) de esa manera se garantiza que el $G/H$ es de orden divisible por $n$. Por lo que habrá un menor abelian campo $E$ de grado exactamente $n$ en el que dos divisiones completamente.
No es fácil encontrar esos campos en los que $\mathcal{O}_F$ es un PID, sin embargo. De hecho, en la actualidad no podemos saber si incluso hay infinitamente muchos campos con esta propiedad (aunque ciertamente es una conjetura, incluso para el real cuadrática campos). Por otro lado, para cualquier campo de número de $F$, existe muchas opciones de) enteros $S$ de manera tal que el $S$-enteros $\mathcal{O}_F[1/S]$ será un PID. Uno simplemente puede invertir cualquier conjunto $S$ que contiene el primer ideales que generan el grupo de clase. Además no es tan difícil de ver que uno puede tomar $S$ a primer a cualquier fijo ideal, y así el primer a $2$. El resultado de los anillos de $\mathcal{O}_F[1/S]$ será PIDs con exactamente $n$ primos de norma $2$.
En particular:
Para cualquier entero $n$, que existan campos de número de $F$ grado $n$ y enteros $S$ tal que $\mathcal{O}_F[1/S]$ es un PID y tiene exactamente $n$ primos de norma $2$.
Ejemplo: Si $K$ es el campo de la $\mathbf{Q}[x]/((x-1)(x-2)(x-3) + 8)$,
a continuación, $\mathcal{O}_K$ es un PID, y $2$ se divide por completo. El anillo de enteros de $K$ es
$$\mathcal{O}_K = \mathbf{Z} \left[1,x, \frac{x^2 - x}{2} \right].$$
El primer ideales de norma $2$
$$P = \left(\frac{x^2 - 3 x}{2} \right) \quad Q = \left(\frac{x^2 - x}{2} \right),
\quad R = (x).$$
Ejemplo Si $K$ es el campo generado por $x^2 + x + 6$, $2$ se divide por completo. Sin embargo, el grupo de clase es de orden tres. Hay dos primos
$$P = (2,x), \quad Q = (2,x+1),$$
donde (por supuesto) $x^2 + x + 6 = 0$$x = (-1 + \sqrt{-23})/2$. Estos primos no son principales. Sin embargo, si usted invertir cualquier prime que se divide en $K$ pero no divide, principalmente, a continuación, el correspondiente anillo se convierte en un PID. Por ejemplo, si uno invierte $3$, $\mathcal{O}_K[1/3]$ es un PID. En este último anillo, uno encuentra que
$$P = (x)\mathcal{O}_F[1/3], \quad Q = (x+1) \mathcal{O}_F[1/3],$$
Tenga en cuenta que$PQ = (x^2+x) = (-6) = (2)$$\mathcal{O}_F[1/3]$.
