Tengo esta ecuación y estaré muy agradecido a quien me puede dar alguna ayuda con la discrepancia en mi solución y la solución de auto-aprendizaje página web: $$ \frac{1+\tan(x) + \tan^2(x) + ... + \bronceado^n(x) + ...}{1-\tan(x) + \tan^2(x) - ... +(-1)^n\bronceado^n(x),...} = 1+\sin(2x) $$
Mi solución
Lo resuelto en no demasiado agraciado. Primero me encontré con las raíces de esta ecuación: $$ \requieren{cancel} \begin{align} &\boxed{\frac{1+\tan(x)}{1-\tan(x)}= 1+\sin(2x)} \\ \\ &\frac{(1+\tan(x))\cancel{(1-\tan(x))}}{\cancel{1-\tan(x)}}= (1+\sin(2x))(1-\tan(x))\\ \\ &\cancel{1}+\tan(x)=\cancel{1} - \tan(x) + \sin(2x) - \sin(2x)\tan(x) \\ &\frac{\sin(2x)}{\tan(x)} - \frac{\sin(2x)\cancel{\tan(x)}}{\cancel{\tan(x)}} -\frac{2\cancel{\tan(x)}}{\cancel{\tan(x)}} = 0\\ \\ &\bbox[Beige]{\boxed{\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}} \\ \\ &\frac{\cancel{2}\cancel{\sin(x)}\cos(x)\cos(x)}{\cancel{\sin(x)}} - \cancel{2}\sin(x)\cos(x) - \cancel{2} = 0 \\ \\ &\cos^2(x) - \sin(x)\cos(x) -1 = 0\\ \\ &\bbox[Beige]{\boxed{\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1}} \\ \\ &\cancel{\cos^2(x)} - \sin(x)\cos(x) - \sin^2(x) - \cancel{\cos^2(x)} = 0\\ \\ &\sin^2(x) + \sin(x)\cos(x) = 0 \\ \\ &\sin(x)(\sin(x) + \cos(x)) = 0 \\ \\ &\sin(x) = 0 \implies \boxed{x_1=\pi k ,\space k \in \mathbb{Z}} \\ \\ &\sin(x) + \cos(x) = 0 \implies \tan(x) = -1 \implies \boxed{x_2=\frac{\pi}{4}\left(4m - 1\right) ,\space m \in \mathbb{Z}} \end{align} $$ También he comprobado que no había ningún parásito y la falta de raíces, porque he dividido la ecuación de $\tan(x)$ y multiplicado por el $1-\tan(x)$. No hubo tal queridos causa $\tan(x)$ no puede asumir la $1$, cuando se $\sin(x)=0$ o $\tan(x) = -1$, y la falta de raíces con $\tan(x) = 0$ son un subconjunto de a $x_1$.
Luego he comprobado que de estas raíces se ajustaba a la siguiente ecuación: $$ \frac{1+\tan(x) + \tan^2(x)}{1-\tan(x) + \tan^2(x)}= 1+\sin(2x) $$
Y resultó que sólo $x_1$ lo hizo. Entonces mi lógica fue: si hubo otro raíces para los siguientes pasos de esta secuencia, por ejemplo, $\frac{1+\tan(x) + \tan^2(x) + \tan^3(x)}{1-\tan(x) + \tan^2(x) - \tan^3(x)}= 1+\sin(2x)$ que no encajaría en el primer paso, mientras que $x_1$ cabrían todos los pasos. Así que la única solución es $x_1 = \pi k ,\space k \in \mathbb{Z}$
Posiblemente la solución equivocada con mi corrección. Puedes ver el original en la www.bymath.com
Es obvio que la fracción de numerador y denominador son secuencias geométricas (progresiones) con los coeficientes comunes $\tan(x)$ $-\tan(x)$ respectivamente. Nota, que aquí $|\tan(x)| < 1$, de lo contrario el lado izquierdo de la expresión no tiene sentido. Por lo tanto, es posible transformar la fracción de numerador y denominador por la fórmula de la suma de la unboundedly la disminución de la progresión geométrica (progresión) $\bbox[Beige]{\boxed{S = \frac{b_1}{1-q}}}$ donde $b$ es el primer miembro de una secuencia y $q$ en una relación.
$$ \begin{align} &\frac{1}{1 - \tan(x)} : \frac{1}{1 - (-\tan(x))} = 1 + \sin(2x) \\ &\frac{1}{1 - \tan(x)} * (1 + \tan(x)) = 1 + \sin(2x) \\ &\bbox[Beige]{\boxed{\sin(\alpha) = \frac{2\tan(\frac{\alpha}{2})}{1+\tan^2(\frac{\alpha}{2})}}} \\ &\frac{1 + \tan(x)}{1 - \tan(x)} - 1 - \frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)} = 0\\ \\ &\frac{(1 + \tan(x))(1+\tan^2(x)) - (1 - \tan(x))(1+\tan^2(x)) - 2\tan(x)(1 - \tan(x))}{(1 - \tan(x))(1+\tan^2(x))} = 0\\ \\ &\frac{1 + \tan^2 x + \tan x + \tan^3 x -(1 + \tan^2 x - \tan x - \tan^3 x ) -2\tan x + 2\tan^2 x}{(1 - \tan x)(1+\tan^2 x)} =0 \\ \end{align} $$
Así que aquí está el punto en el que esta segunda solución es incorrecta. El correcto es este:
$$ \begin{align} &\frac{\cancel{1} + \cancel{\tan^2 x} + \cancel{\tan x} + \tan^3 x -\cancel{1} - \cancel{\tan^2 x} + \cancel{\tan x} + \tan^3 x -\cancel{2\tan x} + 2\tan^2 x}{(1 - \tan x)(1+\tan^2 x)} =0 \\ &\frac{2\tan^3 x + 2\tan^2 x}{(1 - \tan x)(1+\tan^2 x)} =0 \implies \tan x = 0, \ \tan x = -1 \\ \end{align} $$
Mientras que el autor de el sitio tiene esto: $\frac{4\tan^3 x}{(1 - \tan x)(1+\tan^2 x)} =0 \implies \tan x = 0$ y la pérdida de uno raíz de $x_2=\frac{\pi}{4}\left(4m - 1\right) ,\space m \in \mathbb{Z}$
EN REALIDAD LA PREGUNTA
Así que cuando miré a la segunda solución, yo estaba muy confundido con esto:
en que la solución se dice que a menos que $|tan(x)| < 1$ el lado izquierdo de la ecuación sin sentido. Por qué, puede alguien explicar, por favor? Supongo que esta no es la verdadera causa:
- mientras que la transformación con la fórmula de la suma es correcta, la solución sí que estaba mal
- la solución de la derecha nos da dos raíces una de las que no se ajusta a todas las medidas posibles de las secuencias, por lo tanto el numerador y el denominador no son un unboundedly la disminución de la progresión geométrica (progresión).
Es mi conclusión correcta?
Mi más sincero agradecimiento.
