Demuestra que la serie $\sum_{n=1}^\infty \arcsin(\frac{1}{\sqrt n})$ diverge

Question

Sé que la serie $\sum_{n=1}^\infty \arcsin(\frac{1}{\sqrt n})$ diverge utilizando la prueba de comparación: $\arcsin(\frac{1}{\sqrt n}) \ge \frac{1}{\sqrt n} \ge \frac{1}{n} \ge 0$ para $n=1, 2, ...$ Pero, ¿cómo puedo demostrar que $\arcsin(\frac{1}{\sqrt n}) \ge \frac{1}{\sqrt n}$ ?

Creo que se puede demostrar que $\sin x \le x$ Así que $\arcsin x \ge x$ para $x \ge 1$ Pero, ¿cómo puedo hacerlo si no se me permite utilizar las series de Taylor? Básicamente, sólo se me permite utilizar los hechos de Cálculo I.

Answer 1

De todos modos se puede demostrar que diverge utilizando equivalentes es una serie con términos positivos, y $\arcsin\frac1{\sqrt n}\sim_\infty \frac1{\sqrt n}$ . Esta última diverge, por lo que la primera también lo hace.

Answer 2

Desde $$ \sqrt{1-x^2} \leq1, \qquad 0< x<1, $$ se obtiene $$ \frac1{\sqrt{1-x^2}}\geq 1 , \qquad 0< x<1, $$ es decir $$ (\arcsin x)' \geq (x)' $$ para concluir con la observación de que $\arcsin 0=0$ y poner $x=\frac1{\sqrt{n}}$ , $n=1,2,\ldots.$

Answer 3

No es necesario comparar cuál de ellos es más grande. En su lugar, me gusta usar el prueba de comparación de límites como el siguiente. \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}{\frac{1}{\sqrt{n}}} =\lim_{t\rightarrow0^+}\frac{\arcsin(t)}{t} \stackrel{{\rm H}}{=}\lim_{t\rightarrow0^+}\frac{\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}}{1}=1. \end{align} Así, $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge implica $\sum\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ diverge.

Answer 4

Depende de los contenidos de Cálculo I. En el libro estándar de cálculo norteamericano, simultáneamente grueso y fino, se hace algo así.

Dejemos que $t$ ser un pequeño positivo. Tomemos un círculo con centro $O$ y el radio $1$ . Sea $A$ y $B$ sean puntos del círculo con $\angle AOB=2t$ . Entonces el arco $AB$ tiene una longitud $2t$ .

La longitud de la cuerda $AB$ es $2\sin t$ . (Deja caer una perpendicular desde $O$ a $M$ en $AB$ . Entonces $AM=\sin t$ )

La cuerda tiene una longitud menor que el arco. De ello se deduce que $2\sin t\lt 2t$ y por lo tanto $\sin t\lt t$ .

Answer 5

Para demostrar que $\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)\ge \frac{1}{\sqrt n}$ recordamos de la geometría elemental que la función seno satisface las desigualdades VER ESTA RESPUESTA

$$\theta \cos(\theta)\le \sin(\theta)\le \theta \tag 1$$

para $0\le \theta \le \pi/2$ .

Entonces, sustituyendo $\theta =\arcsin(x)$ en $(1)$ produce

$$\arcsin(x)\sqrt{1-x^2}\le x\le \arcsin(x) \tag 2$$

para $0\le x\le 1$ . Por lo tanto, para $0<x<1$ tenemos

$$x \le \arcsin(x)\le \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \tag 3$$

Por último, dejar que $x=\frac1{\sqrt n}$ en $(3)$ obtenemos

$$\frac1{\sqrt n}\le \arcsin\left(\frac1{\sqrt n}\right)\le \frac{1}{\sqrt{n-1}}$$

para $n> 1$

Por lo tanto, por la prueba de comparación, la serie de interés diverge.