¿El grupo de permutación $S_8$ contienen elementos de orden 14?

Question

¿El grupo de permutación $S_8$ contienen elementos de orden $14$ ?

Mi respuesta: Si $\sigma =\alpha \beta $ donde $\alpha$ y $ \beta$ son ciclos disjuntos, entonces $|\sigma| =lcm(|\alpha|, |\beta|)$ . Por lo tanto, las únicas descomposiciones de ciclo disjuntas posibles para una permutación $\sigma \in S_8$ con $|\sigma| =14$ es $(7,2)$ . Desde $7+2\neq 8$ por lo que no hay ningún elemento de orden 14 en $S_8$ .

¿Es correcta mi respuesta? Si no, ¿cuál es la respuesta correcta?

Answer 1

Pistas:

1) Cada elemento de $\,S_n\,$ puede expresarse como un producto de disyuntiva ciclos

2) El orden de un producto de ciclos disjuntos es el mínimo común múltiplo de sus longitudes

Así que... ¿puedes ver ahora por qué hay no elemento de orden $\,14\,$ en $\,S_8\,$ ? Aunque hay elementos de orden $\,15\,,\,6\,,\,10\ldots$

Answer 2

Supongamos que $g$ es un elemento de $S_8$ de orden $14$ . Escriba $g$ como un producto de ciclos disjuntos y que $a_1,\ldots,a_n$ son las longitudes de los ciclos (los puntos fijos se cuentan como ciclos de longitud 1). Entonces se tiene la ecuación $$a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 8$$ y como el orden es el mínimo común múltiplo de las longitudes de los ciclos $$\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\ldots,a_n) = 14.$$ Así que tienes que decidir si hay una solución en enteros positivos $a_i$ a este sistema de ecuaciones.