Es para $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k+1}=\frac{1}{2}$?

Question

Esta serie:$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k+1}$ es convergente para cada$k>1$, parece que tiene un formulario cerrado para cada$k >1$, algunos cálculos aquí en wolfram alpha me muestran que el acercamiento de suma a$\frac{1}{2}$ para grande$k$, mi pregunta aquí es:

Pregunta:

¿Hace$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k+1}\to\frac{1}{2}$ para$k \to \infty$?

Answer 1

Sí por supuesto, tenemos las siguientes:

$\frac{1}{2}\leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k+1}\leq\frac{1}{2}+\int\limits_1^\infty \frac{1}{x^k+1}dx\leq \frac{1}{2}+ \int\limits_1^\infty \frac{1}{x^k}dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{k+1}$.

Ahora utilizar el teorema de exprimir.

Answer 2

Deje que

$$Sk = \sum{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^k}.$$

Sabemos que $S_2 2,$

$$Sk = \sum{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{k-2}}\frac{1}{n^2}\le \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{k-2}}\frac{1}{n^2}= \frac{1}{2^{k-2}}S_2.$$

Esto implica $S_k \to 0$ (de hecho a un ritmo exponencial). Por lo tanto

$$\frac{1}{2}

y hemos terminado por el teorema del apretón.

Answer 3

Sí, de hecho $$ 0\le \lim{k\to \infty}\sum{n\ge 2} \frac {1} {n ^ k +1} \le \lim_{k\to \infty} \int_1^\infty \frac{1}{x^k+1}\mathrm{d}x=\int1^\infty \lim{k\to \infty}\frac{1}{x^k+1}\mathrm{d}x=0 $$ de la convergencia dominada.

Answer 4

Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que se basa en principios básicos. A fin de proceder.

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Deje $f(k)$ sea la función dada por $f(k)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^k}$$k>1$. Claramente, $f(k)=\frac12+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{1+n^k}$.

Dejamos $g(k)$ denotar la serie dada por $g(k)=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{1+n^k}$ y tenga en cuenta que $g(k)$ es monótonamente decreciente.

Deje $\epsilon>0$ ser dado. Existe un número $N'$ tal que

$$\sum_{n=N}^\infty \frac{1}{1+n^2}<\epsilon/2$$

siempre que $N>N'$.

Reparamos $N>N'$ y tome $k$ tan grande que $\sum_{n=2}^{N-1}\frac{1}{1+n^k}< \frac\epsilon2$. Entonces, podemos escribir

$$\begin{align} g(k)&=\sum_{n=2}^{N-1}\frac{1}{1+n^k}+\sum_{n=N}^\infty\frac{1}{1+n^k}\\\\ &\le \sum_{n=2}^{N-1}\frac{1}{1+n^k}+\sum_{n=N}^\infty\frac{1}{1+n^2}\\\\ &<\frac\epsilon2+\frac{\epsilon}{2}\\\\ &=\epsilon \end{align}$$

Podemos afirmar, por tanto, que

$$\lim_{k\to \infty}g(k)=0$$

y por lo tanto tenemos

$$\lim_{k\to \infty}f(k)=\frac12$$

como iba a ser mostrado!