Modelos de cadena-net en enrejados no trivalente

Question

He empezado a leer sobre la cadena neto de los modelos. El siguiente aspecto no era del todo claro para mí:

Cadena neto modelos son más naturales y definidas en trivalente redes, es decir, las redes donde damos 3 "patas" para cada "punto" de la red. El modelo se especifica completamente por la definición de los tipos de cadena, la ramificación de las reglas de ("$N_{ij}^{k}$") y la orientación de las cadenas.

Aunque este enfoque parece natural (sobre todo basado en lo que he leído en el Tensor de categorías) la mayoría de las "más simples" Cadena neto modelos (tales como el $Z_2$ Kitaevs Tóricas de Código, o más genéricamente la $Z_N$ Wen Plaquette Modelo) también puede ser definido en la plaza de las rejillas donde parece que tiene 4 "patas" adjunto a cada "punto".

Me preguntaba cómo y si uno siempre se puede "reducir" una Cadena neto modelo en un arbitrario N-valente de celosía (N "piernas", adjunto en cada "punto") a una Cadena Neto Modelo en un trivalente de celosía. De forma similar: se Puede construir una Cadena arbitraria Neto de los Modelos de N-Valente celosías por la comprensión de que el modelo en algunos trivalente celosía?

Pero para no complicar las cosas: ¿Qué es la "receta" para reducir el Z2 Kitaev Tóricas de Código en un plano de la plaza de celosía para algunos "trivalente celosía"?

Espero sus respuestas!

Answer 1

Todos los no-trivalente gráfico se puede obtener de la vacuna trivalente gráfico mediante la combinación de algunos vértices juntos. Por ejemplo, el Z2 cadena-net modelo se define en una red de nido de abeja, que es una vacuna trivalente de celosía. Pero si se combinan los dos sitios en cada celda unidad juntos, y considerar la totalidad de la celda unidad como su "sitio", entonces la red de nido de abeja se convierte simplemente en la plaza de celosía, y el modelo resultante es exactamente el Kitaev tóricas de código en la plaza de la celosía. De hecho Kitaev deduce de su plaza de celosía tóricas modelo de código a partir de un modelo de nido de abeja en su papel original, siguiendo el mismo camino.

En general, para cualquier sitio que no es trivalente, se puede considerar como un compuesto sitio y dividirlo en varios trivalente sitios conectados juntos. Dicha reducción es igual que el de la triangulación de 2d colector en la topología (el centro del triángulo es el doble para el sitio de la vacuna trivalente gráfico). Ya que en realidad hay más de una manera de dividir a los sitios, usted puede preocuparse de que si todos los diferentes después de la división de darle la misma física. El pentágono relación de la fusión de la categoría garantiza que los diferentes división será equivalente al uno al otro. Así que siempre se puede reducir la no-trivalente entramado para la vacuna trivalente. Así que una vez que sabemos de la física de la cadena-net en la vacuna trivalente de celosía, sabemos que en todas las celosías, que es por eso que sólo tiene para el estudio de la vacuna trivalente de celosía. También no hay ninguna ambigüedad de cómo las cadenas se funden en el vértice de la vacuna trivalente de celosía, por lo que es mucho más conveniente trabajar con trivalente de celosía.